Bevis: Radius er vinkelret på en cirkels tangentlinje

Vi har her en cirkel med centrum i punkt O og vi har en tangentlinje til cirklen. Lad mig lige mærke den. Lad os kalde den linje 𝓁. Vi kan se, at punkt A er røringspunktet mellem tangentlinjen og cirklen. Vi har tegnet en radius fra centrum af cirklen til punkt A. I denne video vil vi bevise, at denne radius og denne tangentlinje skærer hinanden i en ret vinkel. Det første trin er at overbevise os selv om at punkt A er det punkt på linje 𝓁, der er tættest på cirklens centrum. Jeg vil bevise, at punkt A er det punkt på linje 𝓁, der er tættest på punkt O. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og se om du kan overbevise dig selv. For at gøre det vælg et tilfældigt punkt på linje 𝓁 andet end punkt A. Det kan være dette punkt. Det kan være dette punkt. Det kan være dette punkt. Du kan med det samme se, at det ligger uden for cirklen. Lad mig vælge dette punkt, så det bliver lidt mere tydeligt på tegningen. Når det ligger uden for cirklen, for at komme fra punkt O til punktet, som jeg kalder B, så skal du gå længden af radius og så skal du gå lidt mere. Længden af linjestykke OB er tydeligvis længere end radius, da du skal gå længden af radius for at komme ud til cirklen og så skal du gå lidt længere for at komme til et vilkårligt punkt udenfor cirklen. Punkt A er det eneste punkt, per definition af en tangentlinje, der ligger på cirklen. Ethvert andet punkt på linje 𝓁 ligger udenfor cirklen og ligger derfor længere væk. Du er forhåbentlig overbevist om, hvis du vælger ethvert andet punkt, så ligger det uden for cirklen og så skal du gå radius og noget mere. Du er forhåbentlig overbevist om, at punkt A er det punkt på 𝓁, der er tættest på cirklens centrum. Vi er ikke færdige, da vi nu skal bevise for os selv, når vi har et punkt og en linje, at det linestykke, der forbinder det punkt på linjen, der er tættest på det oprindelig punkt, er vinkelret på linjen. Jeg laver lige lidt plads Vi skal bevise, at det linjestykke, der forbinder et punkt, der ikke ligger på linjen, med det punkt på linjen, der er tættest på det oprindelige punkt, er det vinkelret på linjen. Vi har her linje 𝓁 og du vælger et punkt, der ikke ligger på linjen. Dette punkt O lige her. Du skal finde det linjestykke, der forbinder punktet med det punkt på linjen, der er tættest på. Lad os sige, dette er det punkt på linjen, der er tættest på. Jeg bruger en ny farve. Vi skal vise, at det linjestykke, der forbinder dem, er vinkelret på linjen. At det står vinkelret på linjen. Jeg vil bevise det ved at bruge modstridsbevis, altså antage, det ikke er vinkelret. Antage at linjestykket, der forbinder et punkt, der ikke ligger på linjen, til det punkt på linjen, der er tættest på ikke er vinkelret på linjen. Hvordan kan jeg visualiser det? Jeg kan tegne min linje her. Det er linje 𝓁. Og her har jeg punkt O. Lad os sige, at det punkt tættest på punkt O er lige her. Hvis jeg forbinder de to punkter, så er det ikke vinkelret på linje 𝓁. Lad os kalde det punkt A. Lad os sige, at det linjestykke, der forbinder disse to, ikke er vinkelret på linjen. Denne vinkel er derfor ikke 90°. Når vi antager alt dette, så bliver det et modstridsbevis fordi jeg kan vise, når den ikke er 90°, så er der altid et andet punkt på linje 𝓁, der er tættere på punkt O. Jeg modsiger derfor den antagelse, at dette er det punkt, der er tættest på. A skulle være det punkt på linje 𝓁, der er tættest på O. Hvordan kan jeg altid finde et punkt, der er tættere på? Jeg konstruerer en retvinklet trekant. Sådan her. Jeg kan konstruere en retvinklet trekant. Vi kan se, at denne afstand, lad os kalde den a og vi kan kalde grundlinjen b. Lad mig bruge en anden farve. a og b, som er grundlinjen i den retvinklet trekant og hypotenusen er afstanden mellem O og A. Vi kalder den c. Vi ved fra Pythagoras' sætning at a² + b² = c² I en normal trekant vil alt dette være positive værdier og a er mindre end c. Fordi disse er positive tal, og a og c er positive, så skal a være mindre end c. En katete i en retvinklet trekant, vil altid være kortere end hypotenusen. Hypotenusen er den længste side, så a er mindre end c. Hvis a er mindre end c, så har vi fundet et andet punkt. Lad os kalde det punkt D, D er tættere på. Vi har lavet vores kontraposition. Vi antog, at A er det punkt på 𝓁, der er tættest på punkt O og vi antog, at linjestykket, der forbinder dem, ikke laver en vinkel på 90°. Hvis det ikke er en vinkel på 90°, så kan vi lave en linje vinkelret og dermed finde et punkt, der er tættere på, og dermed modsige, at A skulle være tættest på. Vi har vist det modsatte er sandt. Et modstridsbevis. Dette punkt vil aldrig være tættest på. Du kan altid finde et punkt, der er tættere på. Derfor må det linjestykke, der forbinder et punkt til det punkt på linjen, der er tættest på, være vinkelret. Det linjestykke, der forbinder et punkt med det punkt på linjen, der er tættest på, må være vinkelret på linjen. Sådan, nu er du forhåbentlig helt med på at sige, når du har en radius, der peger på et punkt på cirklen, som er røringspunkt for en tangentlinje, så danner radius og tangentlinjen en vinkel på 90°.