Kongruens

Her gennemgås ofte stillede spørgsmål, når du begynder at lære om kongruens

Hvad er sammenhængen mellem transformationer og kongruens?

To figurer er kongruente, hvis de har samme størrelse og form. Når vi bruger stive transformationer (parallelforskydninger, drejninger og spejlinger) til at flytte en figur, så bevares størrelse og form.

Hvis et forløb af stive transformationer kan flytte en figur over i en anden figur, så er figurerne kongruente. Hvis forløbet ikke kan flytte figurerne over i hinanden, så er figurerne ikke kongruente.

Prøv selv i med vores øvelse Kongruens og transformationer .

Hvordan kan transformationer hjælpe os med at udlede betingelser for trekanters kongruens?

Vi kan bruge transformationer til at udlede kongruenssætningerne for trekanter. Med disse sætninger er kun tre par af kongruente dele nødvendige for at påvise kongruens og altså ikke alle tre sider og alle tre vinkler. Hvis en trekant kan "flyttes" over i en anden trekant med et forløb af stive transformationer, så er de to trekanter kongruente.

For eksempel, hvis vi ved, at to trekanter har to par af kongruente sider og en kongruent vinkel mellem dem, så kan vi bruge transformationer til for eksempel at dreje en af dem, så den flyttes over i den anden. Da de to trekanter er et billede af hinanden, kan vi konkludere, at de er kongruente, selv om vi ikke kender målene på de andre sider eller vinkler.

Vi kan, ved at anvende den samme logik, bevise de øvrige kongruenssætninger for trekanter. For eksempel, hvis vi kender målene for to vinkler samt den mellemliggende side i to trekanter, kan vi bruge transformationer for at se, om trekanterne er kongruente. Så ved hjælp af transformationer er vi i stand til at udlede kongruenssætningerne for trekanter, der kan bruges, når kun tre målinger er givet.

Lær mere i øvelsen Redegør for at trekanter er kongruente.

Hvad er kongruenssætningerne for trekanter?

Der er fire hovedsætninger for kongruens af trekanter. Hvis to trekanter opfylder betingelserne i en af disse fire sætninger, så er de kongruente.

Side-Side-Side (SSS) kongruens: To trekanter er kongruente, hvis de tre sider er parvis lige lange.
Side-Vinkel-Side (SVS) kongruens: To trekanter er kongruente, hvis to sider og den mellemliggende vinkel er parvis lige store.
Vinkel-Side-Vinkel (VSV) kongruens: To trekanter er kongruente, hvis to vinkler og den mellemliggende side er parvis lige store.
Vinkel-Vinkel-Side (VVS) kongruens: To trekanter er kongruente, hvis to vinkler og den ikke mellemliggende side er parvis lige store.

I tilfælde af retvinklede trekanter betyder Pythagoras' læresætning, at vi kan beregne længden af den tredje siden, når længden af de to andre sider er givet. Retvinklede trekanter er derfor et særligt tilfælde af SSS kongruens, hvor vi kun har brug for to par kongruente sider.

Hypotenuse-Katete (HK) kriteriet: To retvinklede trekanter er kongruente, hvis hypotenusen og en katete er parvis lige store.

Der er ikke noget der hedder katete-katete kongruens for retvinklede trekanter, fordi det er det samme som SVS kongruens for alle trekanter.

Prøv selv i øvelsen Bevis kongruens med trekanter.

Hvorfor kan jeg ikke bruge Side-Side-Vinkel eller Vinkel-Vinkel-Vinkel til at vise trekantskongruens?

Det enkle svar er, at disse to sætninger ikke altid virker. Side-Side-Vinkel kongruens ser umiddelbart ud som om, den viser kongruens, men det er muligt for to trekanter at have to sider og en vinkel, der er parvis lige store, uden at de er kongruente. Det samme gælder Vinkel-Vinkel-Vinkel. To trekanter kan have tre par af lige store vinkler uden at være kongruente.

Det er derfor, vi bruger de fire andre sætninger: side-side-side (SSS), side-vinkel-side (SVS), vinkel-side-vinkel (VSV) og hypotenuse-katete (HK) for retvinklede trekanter. Det er bevist, at disse sætninger virker hver gang, så vi kan stole på dem, når vi skal vise, at to trekanter er kongruente.

Hvordan kan kongruenssætningerne bruges for andre typer af figurer?

Kongruenssætningerne for trekanter hjælper os med at sammenligne og arbejde med andre figurer på flere måder.

For det første giver de os mulighed for at afgøre, om to trekanter er kongruente, hvilket kan være nyttigt, når vi skal afgøre, om to andre figurer også er kongruente.

For det andet kan kongruenssætningerne hjælpe os, hvis vi opdeler andre figurer i trekanter. For eksempel kan vi opdele en firkant i to trekanter og dernæst afgøre om de to trekanter er kongruente. Hvorefter denne information kan bruges til at udlede noget om firkanten.

Endelig kan kongruenssætningerne hjælpe os med at løse opgaver med andre figurer, da vi kan bruge egenskaber fra kongruente trekanter. Hvis vi f.eks. ved, at to trekanter er kongruente, kan vi bruge de parvise dele af de kongruente trekanter til at finde manglende målinger i en af figurerne.

Prøv selv i øvelsen Bevis egenskaber for parallelogrammer.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.