Bevis: Diagonalerne i en dragefirkant står vinkelret på hinanden

I denne video vil jeg bevise, at linjestykket AC er vinkelret på linjestykket DB ved at bruge den information, der er givet på tegningen. Altså at side BC har samme længde som CD og side AD har samme længde som side AB. For at gøre det skal vi bruge en eller flere kongruenssætninger for trekanter. Jeg vil fremover i denne video referere til dem som sætninger. Lad mig skrive dem herover i vores værktøjskasse. Der er side-side-side kongruens, hvis de tre sider er kongruente, så er de to trekanter kongruente. Der er Side-vinkel-side kongruens, hvis to sider og den mellemliggende vinkel er kongruente, så er de to trekanter kongruente. Der er vinkel-side-vinkel, hvis det er to vinkler og den mellemliggende side. Der er vinkel-vinkel-side, hvis det er to vinkler og en ikke mellemliggende side. Vi ved, at alle disse sætninger medfører kongruens. Jeg vil nu lave et to-kolonne bevis. Man behøver ikke bruge et to-kolonne bevis, men det er typisk, når man begynder indenfor geometrien. Derfor synte jeg, du bør kende til det. Ideen bag er, at du laver et udsagn, som skal dernæst skal begrundes. Hvilket vi har gjort før, blot ikke så struktureret. Jeg gør derfor således, jeg laver to kolonner. Jeg har et udsagn og dets begrundelse. På stående fod bliver min strategi første at vise. at trekant CDA er kongruent med trekant CBA ved at bruge side-side-side kongruens. Det er et godt udgangspunkt, når jeg ved trekanterne er kongruente, så ved jeg, at vinklerne er lige store. Grunden til jeg kan det, er fordi side CD og side CB er lige store. og fordi side DA og BA er lige store samt de har side AC til fælles. Men denne gang er det ikke nok at sige det. Det skal skrives i dette to-kolonne bevis. Længden af CD er den samme som længden af CB. CD er lig med CB, hvilket er givet. Disse to sider er lige lange. Vi ved også, at linjestykke DA har samme længde som linjestykke BA. DA er lig med BA. Dette er også angivet på tegningen. Vi ved også, at CA er lig med CA, at CA er lig med sig selv. Det gælder for begge trekanter. Dette er også givet eller kan ses på tegningen. De to trekanter deler den side. Vi har to trekanter. Deres tilsvarende sider har samme længde, så vi ved de er kongruente. Vi ved, at trekant CDA er kongruent med trekant CBA, ved at bruge side-side-side sætningen og disse udsagn. Lad mig nummerere vores udsagn, så vi kan henvise til dem 1, 2, 3 og 4. Så side-side-side sætning og udsagn 1, 2 og 3 medfører at trekant CDA og CBA er kongruente. Når de to trekanter kongruente, ved vi, at alle tilsvarende vinkler er lige store. Så denne her vinkel er lige så stor som denne her. Lad os skrive det udsagn. Vi ved, at vinkel DCE -- det bliver udsagn 5 -- vi ved, at vinkel DCE har samme størrelse, er kongruent med vinkel BCE. Det ved vi ud fra udsagn 4. Kongruens af de to trekanter. Jeg skriver det i parentes. De er tilsvarende vinkler i trekanterne, så de har samme vinkelmål. Nu kan vi gøre noget spændende med de to mindre trekanter øverst til venstre og øverst til højre i den dragefirkant. Da vi har to tilsvarende sider, der er kongruente, to tilsvarende vinkler, der er kongruente og så har de en side til fælles. Siden CE. Lad os først vise, at de har denne side til fælles. Udsagn 6. Side CE har samme længde som sig selv. Det er indlysende fra tegning. Det er den samme linje. Nu kan vi bruge denne information. Vi har ikke tre sider, da vi ikke har vist, at denne side har samme længde som denne side, at DE har samme længde som EB. Men vi har en side, en vinkel og endnu en side. Derfor kan vi bruge side-vinkel-side sætningen. Ved at bruge side-vinkel-side sætningen kan vi sige, at trekant DCE er kongruent med trekant BCE. Når jeg mærker trekanterne, så er jeg omhyggelig med at holde styr på de tilsvarende punkter. Jeg startede ved D, så C og så E. Så den tilsvarende vinkel, eller punkt eller toppunkt for denne trekant er B. Hvis jeg starter med D, så starter jeg også med B. C er i midten i det tilsvarende toppunkt for begge disse trekanter, så skriver jeg det i midten. Så går de begge til E. Dette er for at være sikre på vi viser, hvad der er tilsvarende med hvad. Og det ved vi er sandt ved at bruge side-vinkel-side kongruens. SVS. Disse to sider [CD og CB] er kongruente fra udsagn 1. Disse to vinkler [DCE og BCE] er kongruente fra udsagn 5. Udsagn 6 gav os den anden side. Når vi ved, at disse trekanter er kongruente, ved vi også, at de tilsvarende vinkler er kongruente. For eksempel at denne vinkel er kongruent med denne vinkel. Lad os skrive det. Udsagn nummer 8. Vinkel DEC har samme vinkelmål som vinkel BEC. Begrundelsen for dette udsagn kommer fra udsagn 7. Kongruens. Lad os lave udsagn 9. Vi ved også, at vinkel DEC og vinkel BEC er supplementære. Hvilket betyder, at summen af dem er 180 grader. Det ved vi, da de ligger op af hinanden, og de danner en lige vinkel. Hvis vi ved disse to vinkler er lige store og de er supplementære kan vi udlede at de begge er 90 grader. så 10, vinkel DEC er lig med vinkel BEC, som er lig med 90 grader. Begrundelsen er en smule omfattende, men vi kan samle udsagn 8 og 9. Udsagn 8 og 9 medfører, at vinkel DEC plus vinkel -- nej mig lige ændre dette en smule, for mange trin på en gang -- Vinkel DEC plus vinkel BEC er lig 180 grader. Det ved vi fra udsagn 9, da de er supplementære. -- Nu bruger jeg vist en masse plads -- Udsagn 11 er vinkel DEC plus vinkel DEC er 180 grader. Det ved vi fra udsagn 9 og 8. I udsagn 9, i stedet for BEC, indsatte vi DEC, da de fra udsagn 8 er lige store. I udsagn 12 siger vi, at vinkel DEC er lig 90, som er lig vinkel BEC. Det ved vi fra udsagn 11 og 8. Du kan se, jeg har brugt meget tid og været meget pernitten med trinene. I andre beviser ville jeg blot have sagt dette tydeligvis medfører dit eller dat. Og vi er færdige. Jeg skriver lige det sidste udsagn. Udsagn 13, som er det vi vil bevise. Vi vil bevise, at linjestykke AC er vinkelret på linjestykke DB. Så AC er vinkelret på DB. Det ved vi fra udsagn 12. Og vi er færdige. Vi har lavet et to-kolonne bevis, og bevist at linjestykke AC er vinkelret på linjestykke DB. Det gjorde vi med SSS sætningen og SVS sætningen.