If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold
Aktuel tid:0:00Samlet varighed:11:06

Video udskrift

Det vi vil gøre i denne video er at bevise, at linjestykket AC er vinkelret på linjestykket DB baseret på den information, vi har i figuren til venstre. Altså at linjestykket BC har samme længde som CD og at linjestykket AD har samme længde som linjestykket AB Derudover vil vi give dig en forståelse af, hvordan man benytter påstandene om, at to trekanter er kongruente. Den første påstand vi kender er, at hvis tre sider er kongruente, vil de to trekanter også være kongruente. Den anden påstand er, at hvis to sider med en vinkel imellem er kongruente, så vil de to trekanter også være kongruente. Den tredje påstand er, at hvis man har to vinkler med en side imellem, vil de to trekanter være kongruente. Den fjerde påstand er, at hvis to vinkler efterfølges af en side, vil de to trekanter også være kongruente. Vi vil nu vise, hvordan man laver bevis med to spalter. Ideen er ret simpel Vi har et udsagn i venstre spalte, som vi begrunder rigtigheden af i højre spalte. Vi har to spalter. Til venstre skriver vi udsagnene, og til højre har vi begrundelserne. Ved øjemål ser det ud om som, at trekant CDA og trekant CBA er kongruente, baseret på på den første påstand fra før. Altså at vi har tre kongruente sider, hvilket giver to kongruente trekanter. Så snart vi har bevist at trekanter er kongruente, kan vi begynde at se på vinklerne, som også er ens. Grunden til at vi kan gøre dette er, at linjestykket CD har samme længde som CB, og fordi linjestykket DA har samme længde som BA. Derudover har de to trekanter linjestykket CA til fælles. Vi har altså linjestykket CD, som har samme længde som linjestykket CB. Dette er vores første udsagn, som gøres klart ved at se på figuren. Vores andet udsagn går på, at linjestykket DA har samme længde som linjestykket BA, hvilket også gøres klart ved at kigge på figuren til venstre. Derudover ved vi med sikkerhed, at linjestykket CA har samme længde hele tiden, hvilket bliver vores tredje udsagn. Trekant CBA og trekant CDA deler, som figuren viser, linjestykket CA. Vi ved derudover, at linjestykket BA i trekanten til højre, er ligeså langt som linjestykket DA i trekanten til venstre, og at linjestykket CB til højre er ligeså langt som CD til venstre. Derfor kan vi sige, at trekant CDA og CBA er kongruente, hvilket bliver vores fjerde udsagn. Dette kan siges ud fra vores påstand fra tidligere om, at hvis tre sider er kongruente, vil de to trekanter være kongruente. Vi nummererer vores udsagn i beviset her, så det bliver nemmere at holde styr på. For lige at opsummere ved vi, at det er de første tre udsagn, der medfører, at trekant CDA og CBA er kongruente. Når de to trekanter kongruente, ved vi, at alle vinklerne, der ligger ved siden af hinanden, er lige store. Så denne her vinkel er lige så stor som denne her. Dette bliver altså vores femte udsagn, som går på, at vinkel C i trekant DCE er ligeså stor, som vinkel C i trekant BCE. Dette ved vi på baggrund af det fjerde udsagn, der går på, at trekant CDA og trekant CBA er kongruente. At trekant CDA og CBA er kongruente, medfører at vinkel C er lige stor i både CDA og CBA, fordi vinkel C i trekant CDA svarer til vinkel C i trekant CBA. Kigger vi på de to små trekanter øverst i figuren, ved vi, at de to tilsvarende sider, linjestykke CB og DC, er kongruente. Derudover ved vi, at de to vinkel C ved siden af hinanden også er lige store. Vi ved også, at de to små trekanter har linjestykke CE til fælles. Dette linjestykke bliver vores sjette udsagn. Altså at CE har samme længde uanset hvad. At CE har samme længde uansat hvad ses tydeligt på figuren til venstre, idet det bare er den samme linje. Dette udsagn fører os nu til vores syvende udsagn, idet vi i DCE kender to sider og en vinkel. Disse informationer kender vi fra vores påstand fra tidligere, som gik på, at hvis man kender to sider og en vinkel i en trekant, og disse er kongruente til trekanten ved siden af, vil de to trekanter være kongruente. Derfor kan vi nu sige, at trekant DCE og trekant BCE er kongruente. Det er ikke helt tilfældigt, at vi skriver trekant DCE og trekant BCE. For med disse betegnelser, vil vi markere, hvilke vinkler eller punkter der er hører sammen. Når vi starter med D i den ene betegnelse og B i den anden, vil vi altså markere, at punktet for D og B ligger lige overfor hinanden. Når C står som det midterste bogstav, mener vi altså, at vinkel C er den tilsvarende vinkel i de to trekanter. E står til sidst i begge betegnelser, fordi punktet E indgår i begge trekanter. Vi ved, at trekant DCE og BCE er kongruente, fordi CD er ligeså lang som CB, fordi vinkel C i trekant DCE er ligeså stor som vinkel C i trekant BCE og fordi CE er den samme hele tiden. At CD er ligeså lang som CB ved vi fra det første udsagn. At vinkel C er lige stor i henholdsvis trekant DCE og BCE ved vi fra det femte udsagn. Og at CE er den samme uanset hvad, ved vi fra det sjette udsagn. Når vi ved, at trekant DCE og BCE er kongruente, ved vi også, at de tilsvarende vinkler er lige store. Eksempelvis ved vi altså, at vinkel E i trekant DEC er ligeså stor som vinkel E i trekant BEC. Vores ottende udsagn er altså, at vinkel E i trekant DEC er ligeså stor som vinkel E i trekant BEC. Begrundelsen for dette udsagn kommer vores syvende udsagn. Det niende udsagn går nu på, at vinkel E i trekant DEC og vinkel E i trekant BEC er supplementære, altså 180 grader. Det ved vi, fordi de ligger lige op ad hinanden, og fordi de ydre sider danner en ret vinkel. Så vinkel E er altså 90 grader i begge de to øverste trekanter, så vinkler lagt sammen giver 180 grader, og de er derfor supplementære. Når vi ved, at vinkel E i DEC er ligeså stor som vinkel E i BEC, og at de er supplementære, altså 180 grader tilsammen, må det medføre, at de begge er rette vinkler, altså 90 grader. Den tiende påstand er altså, at vinkel E i trekant DEC er ligeså stor som vinkel E i trekant BEC, hvilket er 90 grader. Begrundelsen for dette kommer fra det ottende og det niende udsagn. Men lad os lige slette det tiende udsagn igen og starte forfra på dette, så vi gennemgår det lidt mere grundigt. Det tiende udsagn går på, at vinkel E i trekant DEC og vinkel E i trekant BEC til sammen giver 180 grader. Dette ved vi ud fra det niende udsagn, som går på, at summen af vinkel E i trekant DEC og vinkel E i trekant DEC er 180 grader, fordi de er supplementære. Så vi ved, at summen af vinkel E i trekant DEC og vinkel E i trekant DEC er 180 grader, Dette ved vi på baggrund af det niende og ottende udsagn, der går på, at vinkel E i trekant DEC er det samme som vinkel E i trekant BEC. Derudover ved vi det også på baggrund af det niende udsagn, at summen af vinkel E i trekant DEC og vinkel E i trekant DEC er 180 grader. Nu ledes vi videre til det tolvte udsagn, der går på, at vinkel E er 90 grader i både trekant DEC og trekant BEC. Vi ved dette fra ottende og ellevte udsagn. Det ottende der går på, at summen af vinklerne i trekant DEC er den samme som i trekant BEC. Og det ellevte udsagn der går på, at vinkel E i trekant DEC er det samme som vinkel E i trekant BEC. Nu er vi faktisk færdige, for hvis vinkel E i både DEC og BEC er 90 grader, har vi bevist, at linjestykket AC er vinkelret på linjestykket DB, hvilket var målet fra begyndelsen. Dette leder os altså til det trettende og sidste udsagn, der går på, at linjestykket AC er vinkelret på linjestykket DB. Dette ved vi jo ud fra vores tolvte udsagn, som går på, at vinkel E er 90 grader. Vi er nu færdige med beviset i to spalter, og har derfor bevist, at linjestykket AC er vinkelret på DB.