Bevis for VSV og VVS kongruens ved hjælp af transformationer

I denne video skal vi bevise, når vi har to forskellige trekanter, der har et par af sider med samme længde, altså den blå side i begge trekanter har samme længde, og de har to par af vinkler, hvor hvert par af tilsvarende vinkler er lige store, så den grå vinkel er lige stor som den grå vinkel her og denne vinkel med to orange buer, vinkel ACB, har samme størrelse som vinkel DFE. Vi skal bevise, når du har to vinkler og en side, der er parvis lige store, så kan vi altid lave et forløb af stive transformationer, der kan flytte den ene trekant over i den anden. Derfor er trekanterne kongruente ud fra definitionen af kongruens med stive transformationer. Grunden til jeg har skrevet vinkel side vinkel (VSV) og vinkel vinkel side (VVS) er at de betyder det samme. Når du kender to vinkler, så kender du også den tredje. I denne situation har vi to par vinkler, parvis med samme størrelse. Det betyder, at det tredje par af vinkler også er lige store. Når du kender siden mellem to vinkler, så svarer det til at kende VVS. Fordi, når to par af vinkler er det samme, så er den tredje vinkel også den samme som den tilsvarende tredje vinkel i den anden trekant. Lad os vise, at der er et forløb af stive transformationer, som kan flytte ABC over i DEF. I det første trin, som du måske allerede har gættet, bruger vi, at to linjestykker med samme længde er kongruente. Et forløb af stive transformationer kan flytte det ene over i det andet. Jeg vil flytte linjestykke AC over i DF. Det kan jeg gøre med en parallelforskydning af punkt A over i punkt D og kalde det A'. Når jeg har gjort det vil linjestykke AC se nogenlunde således ud. Jeg skitserer det blot. Det vil gå i denne retning. Og resten af trekant vil følge med. Den orange side AB vil være nogenlunde her. Men vi kan lave endnu en stiv transformation. En drejning omkring punkt D eller A', de er jo nu samme punkt, som flytter punkt C over i punkt F. Efter to stive transformationer har du flyttet AC over i DF. A', hvor A er flyttet hen, svarer nu til D og F svarer til C'. Men hvor er punkt B? Det er vigtigt at huske på, at vinklen er bevaret. Da vinklen er bevaret, så kan vi have en situation, hvor vinkel CAB er bevaret og B' derfor ligger et sted på denne halvlinje, for at vinkel C'A'B' kan blive bevaret. En vinkel er defineret af to halvlinjer, der skærer hinanden i vinkelspidsen eller starter i en vinkelspids. Og da vinkel ACB er bevaret, den vinkel der er dannet af disse to halvlinjer, du kan kalde dem halvlinje CA og halvlinje CB, så ved vi, at B' også ligger på denne halvlinje. Og jeg tror du ved, hvor det bærer hen. Da disse to vinkler, BAC og ACB, er bevaret, så skal B' ligge på begge halvlinjer. De skærer hinanden i et punkt, et punkt der ligger i punkt E. Derfor må B' også ligge der. Det er en mulighed. I så fald har vi vist, at der er et forløb af stive transformationer der flytter denne trekant over i den trekant. Der er en anden mulighed. Der er et andet tilfælde, hvor vinkler bliver bevaret. I stedet for at vinklerne ligger til højre for, kan man vel sige, af denne blå linje, så kan vinklerne være på den anden side. Vinklerne er stadig bevaret, men de ligger på den anden side af den blå linje. Hvor ligger B' så? Lad mig gøre dette en smule mere præcist. Jeg kopierer disse vinkler. Lad mig lave en cirkelbue og så måler jeg afstanden. Vi har gjort det i andre videoer, hvor vi har kopieret vinkler. Det ligger med denne afstand og lad mig tegne punktet. Hvis vinklerne ligger på den anden side af linje DF eller A'C', så ved vi, at B' ligger et sted på denne halvlinje. Lad mig tegne den så pænt som muligt. Et sted på denne halvlinje. Og B' skal ligge et sted på den halvlinje, der danner den anden vinkel. Jeg prøver at lave den så pænt som muligt. Jeg laver en cirkelbue. Jeg lavede den lidt større end nødvendigt, men forhåbentlig er det godt nok. Jeg har målt afstanden her. Når jeg måler afstanden her, så kommer vi herhen. B' skal ligge på denne halvlinje og på den halvlinje. De to halvlinjer skærer hinanden lige der. I den anden situation er vinklerne bevaret, så de ligger på den anden side af den blå linje og B' ligger her. Nu skal vi blot tilføje en stiv transformation til vores forløb. En spejling over linje DF eller A'C'. Hvorfor flytter det B' over i E? En spejling er en stiv transformation, så vinklerne er bevaret. Når den vinkel vendes over, så bevares den. Når denne vinkel vendes over, så bevares dens størrelse. Det betyder vi er tilbage i den første situation, da disse halvlinjer bliver vendt over i disse halvlinjer og B' må ligge i skæringspunktet. Sådan. Når du kender to vinkler, og dermed også den tredje, så du kender to vinkler og en side, der har samme vinkelmål og længde, så betyder det, at trekanterne er kongruente.