Hvis du ser denne besked, betyder det, at vi har problemer med at indlæse eksterne ressourcer til Khan Academy.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hovedindhold

Det Gyldne Snit og Rembrandts selvportræt

Ligedannethed, det gyldne snit og kunst, alt samles i denne inspirerende video! Lavet af Sal Khan.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Video udskrift

Her har vi et selvportræt, som Rembrandt malede i 1640. Der nogle meget spændende ting ved det. Ligesom andre store kunstnere som Leonardo da Vinci og Salvador Dali og mange mange mange andre, så var Rembrandt meget interesseret i det der kaldes det gyldne snit. Jeg har lavet en hel video om emnet. Dette fascinerende fascinerende fascinerende tal, der skrives med det græske bogstav fi, φ. Det et irrationalt tal 1,61803... og så fortsætter det uendeligt. Der er nogle meget spændende matematiske egenskaber ved φ eller det gyldne snit. Hvis du starter med φ og... Nej, lad os i stedet... Lad os starte med 1 lægger 1/φ til. -- jeg skriver lige φ lidt pænere -- Når du lægger 1/φ til, så får du φ! Det er da ret sejt. Hvis du ganger begge sider af denne ligning med φ, så får du φ + 1 = φ². Det er et tal, som når du lægger 1 til, så får du kvadratet på det. Det er da spændende. Det kan også skrives som en kædebrøk. ɸ kan skrives som 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 +... og vi kan fortsætte uendeligt. Det bliver også φ. Med dette kan du forhåbentlig værdsætte, at det er et ret sejt tal. Men det er ikke kun sejt rent matematisk, det dukker op over alt i naturen. Det er et tal kunstnere har været interesseret i, fordi de mener det definerer menneskelig skønhed. I dette maleri kan vi se, at Rembrandt brugte det. Hvordan kan vi se det? Det er det, vi skal se nærmere på i denne video. Vi har lavet en trekant. Naturligvis er disse trekanter ikke en del af maleriet. Vi har lagt dem ovenpå. Når du anbringer grundlinjen af en trekant, hvor hans arm hviler, og du har de to andre sider af trekanten langs hans arme og skuldre, så mødes de i et punkt her ved denne bue. Du har nu lavet trekant ABD lige her. Når du går her op til hans øjne, og øjnene er det vi nærmest naturligt ser, uanset om det er på et ansigt eller et billede af et ansigt. Og du laver en linje gennem øjnene, der er parallel med linje BD Lad os kalde det linjestykke for PR. Det viser det sig, at forholdet mellem den lille trekant og den større trekant har med φ at gøre. Herover er nogle ting, vi får at vide om maleriet, og det ser da ret spændende ud. Forholdet mellem længden af linjestyke CD og BC er φ : 1. Når du tegner højden i den større trekant, så er forholdet mellem længden af CD og BC lig φ. Det er tydeligt at Rembrandt har tænkt over det. Vi får at vide, at PR er parallel med BD. Den er tegnet sådan. Den her er parallel med denne her. Den næste oplysning fortæller os, at Rembrandt har tænkt meget over det. Forholdet mellem AC og AQ. AC er højden i den store trekant og AQ er højden i den øverste trekant. Det forhold er lig φ + 1 : 1 eller blot φ + 1. Det er tydeligvis noget Rembrandt var opmærksom på. Lad os med denne viden gå mere i dybden. Lad os se om vi kan lave et udtryk for forholdet mellem arealet af trekant ABD, den større trekant, og arealet af trekant APR, den mindre trekant heroppe. Vi skal finde forholdet mellem arealet af den større trekant og arealet af den mindre trekant. Kan vi lave et udtryk, der bruger φ og et konstant tal, altså omskriver φ på en eller anden måde? Jeg opfordrer dig at sætte videoen på pause og se, om du kan gøre det. Lad os gøre det et trin af gangen. Hvad er arealet af en trekant? Arealet af en trekant er 1/2 gange grundlinje gange højde. Arealet af trekant ABD kan derfor skrives som 1/2 gange grundlinjen... Grundlinjen er længden linjestykke BD. så 1/2 gange BD... Hvad er højden? Det er længden af linjestykke AC. 1/2 gange BD gange AC. Det er arealet af trekant ABD. 1/2 gange grundlinje gange højden. Hvad er arealet af APR? Det er 1/2 gange længden af grundlinjen, som er længden af PR, gange højden, som er længden linjestykke AQ, gange længden af AQ. Hvordan kan det reduceres? Vi kan dividere 1/2 med 1/2. De går ud med hinanden. Hvad kan vi ellers gøre? Vi kender forholdet mellem AC og AQ. Forholdet mellem AC og AQ er φ + 1 : 1. Eller vi kan sige, det blot er lig φ + 1. Lad mig omskrive det. Vi har længden af linjestykke BD over længden af linjestykke PR og den del her kan vi omskrive til (φ + 1) / 1. Hvad er forholdet mellem BD og PR? Det er forholdet mellem den større trekants grundlinje og den mindre trekants grundlinje. Lad os se nærmere på det. Du har måske bemærket, at den større trekant og den mindre trekant er ligedannede. De har selvfølgelig vinkel A til fælles. Da PR er parallel med BD, så ved vi, at denne vinkel svarer til den vinkel. Det er kongruente vinkler. Og vi ved, at den vinkel svarer til denne vinkel. Vi har tre par af tilsvarende vinkler, der er kongruente. Den er kongruent med sig sig og den er i begge trekanter. Den er kongruent med den og den er kongruent med den. Du har tre kongruente vinkler. Du har to ligedannede trekanter. Det nyttige ved ligedannede trekanter er forholdet mellem tilsvarende dele. Forholdet mellem tilsvarende længder i ligedannede trekanter er det samme. Et af disse forhold er givet. Forholdet mellem højden i den større trekant og højden i den mindre trekant. AC : AQ er lig φ + 1 : 1. Da det forhold gælder for et sæt af tilsvarende dele i de ligedannede trekanter, så gælder det for alle tilsvande dele i de ligedannede trekanter. Forholdet φ + 1 : 1. Forholdet mellem BD, den større trekants grundlinje, og grundlinjen af den mindre trekant vil også være (φ + 1) / 1. Lad mig skrive det. Det kan omskrives til (φ + 1) / 1. Kan det reduceres? Vi har (φ + 1) / 1 gange (φ + 1) / 1. Når du dividerer med 1, så ændrer du ikke værdien. Det bliver lig med -- og vi fortjener en trommesolo -- Det er lig (φ + 1)². Det er da ret sejt. Jeg opfordrer dig til at tænke mere over det. Vi har allerede set, at φ + 1 er lig φ². Der er flere interessante måder, du kan fortsætte din analyse af dette.