Ligedannede trekanter

I den første opgave herovre skal vi finde længden af linjestykket CE. Vi har de her to parallelle linjer. AB er parallel med DE. Derudover har vi de her to linjer på tværs, som danner to trekanter. Lad os se, hvad vi kan gøre her. Det første, der springer i øjnene, er, at den her vinkel og den her vinkel er topvinkler, så de vil være kongruente. En anden ting er, at vinkel CDE og vinkel CBA er indvendige vekselvinkler. Vi har linjen på tværs her, og de her to vinkler er indvendige vekselvinkler. og de er derfor kongruente. Hvis man fortsætter den her linje på tværs, vil man få en ensliggende vinkel til CDE heroppe. Den her er en topvinkel. Ligemeget hvad vil den her vinkel og den her vinkel være kongruente. Vi har altså slået fast, at vi har to trekanter, og de to trekanter har to ensliggende vinkler, som er ens. Det er i sig selv nok til at bevise, at de er ligedannede. Vi kan faktisk vise, at den her vinkel og den her vinkel også er kongruente, fordi de er indvendige vekselvinkler, men vi behøver ikke. Vi ved allerede, at de er ligedannede. Det kan vi faktisk bevise ved kun at kigge på de indvendige vekselvinkler. De her vil også være kongruente. Vi ved allerede nok til at sige, at de er ligedannede, så vi behøver ikke gøre det. . Vi skriver det lige, så farverne passer sammen, og vi har den samme farve for ensliggende vinkler. Det virkelig vigtigt at vide, hvilke vinkler og hvilke sider der er ensliggende til hvilke sider, så man ikke laver kludder i størrelsesforholdene. Man skal altså vide, hvad der er ensligggende med hvad. Vi ved, at trekant ABC og den anden trekant er ligedannede, og nu skal vi så finde ud af, hvad den anden trekant hedder. A er ensliggende med vinkel E herovre. E er det første af de tre bogstaver. Nu har vi vinkel B herovre, som er ensliggende med vinkel D, så vi har altså trekanten EDC. Hvad betyder det så? Det betyder, at forholdet mellem de ensliggende sider er det samme. Størrelsesforholdene er de samme og vil altså være den samme konstante værdi. . Vi har for eksempel siden BC, som er ensliggende med siden DC. Det kan vi se ud fra den måde, vi har skrevet trekanterne op på. Hvis det er rigtigt, er BC ensliggende med siden DC. Vi ved altså, at længden af BC over længden af DC, som vi har herovre, er lig med længden af de næste sider over hinanden. Vi skal finde ud af, hvad CE er. Det er det, vi vil vide nu. Vi bruger BC og DC til at finde ud af det, fordi vi kender de værdier. BC over DC skal være lig med en ensliggende side til CE over CE. Den ensliggende side til CE må være CA. BC over DC skal altså være lig med CA over CE. CA og CE er de to ensliggende sider her. Det er det sidste bogstav og det første, det sidste bogstav og det første. CA over CE. Vi ved, hvad BC er. Vi ved, at BC er 5, og vi ved også, hvad DC er. DC er nemlig 3. Vi ved også, hvad CA eller AC er herovre. CA er nemlig 4. Nu skal vi bare finde ud af, hvad CE er. Der er flere måder, vi kan se det her på. Vi kan gange med den omvendte, så vi ganger med nævneren på begge sider. Vi får så 5 gange længden af CE er lig med 3 gange 4, hvilket er lig 12. På den måde finder vi CE. CE er nemlig lig med 12 over 5. Det er det samme som 2 og 2 femtedele. 2 og 2 femtedele eller 2,4. Det bliver altså 2 og 2 femtedele. Vi er færdige. Vi kunne bruge vores viden om ligedannethed til at finde længden på den her side. Vi skulle bare vide, at forholdet mellem de ensliggende sider skal være det samme. Lad os nu lave opgaven herovre. Den laver vi. Vi tegner en lille linje her. Det er en anden opgave nu. I den her opgave skal vi finde ud af, hvad DE er. Igen skal vi se på, hvilke informationer vi har. Vi har de her to parallelle linjer. Vi ved, at ensliggende vinkler er kongruente. Vi ved altså, at den vinkel her skal være ligeså stor som den her vinkel. Vi kunne se det her som en linje på tværs. Vi ved også, at vinklen herovre skal være ligeså stor som den vinkel herovre. Igen ved vi det, fordi vi har linjen på tværs. Vi kigger altså på de to trekanter. Vi kigger på trekant CBD og trekant CAE. De har begge to den vinkel heroppe. De har begge to vinklen heroppe. Vi kunne have stoppet ved de to vinkler, men nu har vi faktisk vist, at alle tre ensliggende vinkler i de her to trekanter er kongruente. De er alle tre kongruente. . Igen er det meget vigtigt, at vi får skrevet trekanterne rigtigt op, så vi ikke bytter rundt på de ensliggende sider, når vi skal bevise ligedannetheden. Vi ved, at trekant CBD og trekant CAE er ligedannede, og de er altså ikke kongruente. De er ikke kongruente. Trekant CBD og trekant CAE er ligedannede. Det betyder, at forholdet mellem de ensliggende sider er det samme hele vejen igennem. Vi ved derfor nu, at forholdet mellem to af siderne skal være det samme som forholdet mellem to af de andre sider. Vi ved, at forholdet mellem CB og CA, Lad os skrive det ned. Vi ved, at forholdet mellem CB over CA skal være lig med forholdet mellem CD over CE. Vi ved, hvad CB er, for CB er nemlig 5. Vi ved også, hvad CA er. Vi skal være lidt forsigtige her, for det er ikke 3. CA er hele den her side, så det bliver 5 plus 3. CA er derfor 8. Vi får også at vide, hvad CD er. CD er nemlig 4. Igen kan vi gange med den omvendte for at finde CE. Vi har 5 CE, 5 gange CE, og det er lig med 8 gange 4. 8 gange 4 er 32, og derfor er CE lig med 32 over 5. Det kan vi også skrive på en anden måde. Det er nemlig 6 og 2 femtedele. Vi er ikke færdige endnu, for vi bliver ikke spurgt, hvad CE er. Vi bliver spurgt efter den linje herovre, nemlig DE. Det er altså DE, vi skal finde. Vi ved, at hele den her længde, som hedder CE, er 6 og 2 femtedele lang. Vi skal altså finde ud af, hvad længden af det lille stykke, DE, er. Det gør vi ved at sige hele linjestykket minus 4. Det bliver altså CE minus CD. Det må give 2 og 2 femtedele. 6 og 2 femtedele minus 4 giver 2 2 femtedele. Vi er færdige. DE er 2 og 2 femtedele.