Ligedannede trekanter

I den første opgave skal vi finde længden af linjestykket CE. Vi har de her to parallelle linjer. AB er parallel med DE. Derudover har vi to transversaler, som danner to trekanter. Lad os se, hvad vi kan gøre. Det første, der springer i øjnene, er, at den her vinkel og den her vinkel er topvinkler, så de vil være kongruente. En anden ting er, at vinkel CDE og vinkel CBA er indvendige vekselvinkler. Vi har transversalen, så disse to vinkler er indvendige vekselvinkler og de er derfor kongruente. Eller når man forlænger transversalen, har man en ensliggende vinkel til CDE heroppe. Den her er en topvinkel. Uanset hvad, så er den her vinkel og denne vinkel kongruente. Vi har to trekanter, og de to trekanter har to tilsvarende vinkler, som er ens. Det er i sig selv nok til at påvise ligedannethed. Vi kan faktisk vise, at den her vinkel og denne vinkel også er kongruente, fordi de er indvendige vekselvinkler, men vi behøver ikke. Vi ved allerede, at de er ligedannede. Det kunne vi have påvist ved kun at kigge på de indvendige vekselvinkler. Disse er også kongruente. Vi ved allerede nok til at sige, at de er ligedannede, uden at gøre det. -- jeg farvekoder det lige -- Det er meget vigtigt, at vide, hvilke vinkler og hvilke sider der er tilsvarende med hvad, så man ikke laver kludder i forholdene Vi ved, at trekant ABC er ligedannet med trekant -- vinkel A er tilsvarende med vinkel E -- ligedannet med E -- vinkel B er tilsvarende med vinkel D -- trekant E D C. Hvad betyder det så? Det betyder, at forholdet mellem de tilsvarende sider er det samme De har den samme konstante værdi. Vi har disse tilsvarende sider. Den tilsvarende side til BC er DC. Det kan vi se ud fra den måde, vi har skrevet udsagnet på. Hvis dette er rigtigt, er BC tilsvarende med DC. Vi ved, at længden af BC / længden af DC er lig med -- vi skal finde ud af, hvad CE er -- Jeg bruger BC og DC, fordi vi kender de værdier. BC / DC skal være lig med den tilsvarende side til CE / CE. Den tilsvarende side til CE må være CA. BC / DC skal altså være lig med CA / CE. CA og CE er disse tilsvarende sider. Det er det sidste bogstav og det første, det sidste bogstav og det første. CA / CE. Vi ved, hvad BC er. BC er 5. Vi ved, hvad DC er. DC er 3. Vi ved, hvad CA eller AC er herovre. CA er 4. Nu skal vi bare løse for CE. Der er flere måder, vi kan se det her på. Vi kan gange med den omvendte, så vi ganger med nævneren på begge sider. Vi får så 5 gange længden af CE er lig med 3 gange 4, hvilket er lig 12. På den måde finder vi CE. CE er lig med 12/5. Det er det samme som 2 og 2/5. 2 og 2/5 eller 2,4. Det bliver altså 2 og 2/5. Og vi er færdige. Vi brugte vores viden om ligedannethed til at finde længden af denne side. Ved at vide, at forholdet mellem de tilsvarende sider er det samme. Lad os nu lave opgaven herovre. Jeg tegner en lille linje for at vise, at det er en anden opgave. I den her opgave skal vi finde ud af, hvad DE er. Vi har de her to parallelle linjer. Vi ved, at ensliggende vinkler er kongruente. Vi ved, at den vinkel er kongruent med denne vinkel, da kan se denne som en transversal. Vi ved også, at vinklen herovre er kongruent med denne vinkel. Igen ensliggende vinkler og en transversal. Vi kigger på trekant CBD og trekant CAE. De har denne vinkel tilfælles. Vi kunne have stoppet ved de to vinkler, men nu har vi faktisk vist, at alle tre tilsvarende vinkler er kongruente med hinanden. Det meget vigtigt, at vi får skrevet trekanterne rigtigt op i den rigtige rækkefølge, når du skriver ligedannetheden ned. Vi ved nu, at trekant CBD er ligedannet -- ikke kongruent -- ligedannet med trekant CAE. Hvilket betyder, at forholdet mellem de tilsvarende sider er konstant. Vi ved, at forholdet mellem CB og CA -- lad os skrive det ned -- Vi ved, at forholdet CB / CA er lig forholdet CD / CE. Vi ved, hvad CB er. CB er 5. Vi ved også, hvad CA er. Vi skal være lidt forsigtige, for det er ikke 3. CA er hele denne side, så det bliver 5 + 3. CA er derfor 8. Vi ved også, hvad CD er. CD er 4. Igen kan vi gange med den omvendte. Vi har 5 gange CE er lig med 8 gange 4. 8 gange 4 er 32. Derfor er CE lig med 32/5. Eller vi kan skrive 6 og 2/5. Vi er ikke færdige endnu, for vi blev ikke spurgt, hvad CE er. Vi blev spurgt, hvad den linje her er, DE? Vi ved, at hele den her længde, CE er 6 og 2/5. DE -- det vi faktisk skal finde -- er hele denne længde (6 og 2/5) - 4, altså minus CD. Det bliver 2 og 2/5. 6 og 2/5 - 4 er 2 og 2/5. Vi er færdige. DE er 2 og 2/5.