Introduktion til ligedannede trekanter

Når vi sammenligner trekant ABC med trekant XYZ, er det ret tydeligt, at de ikke er kongruente. De to trekanters sidelængder er meget forskellige. Alligevel er der noget interessant med de to trekanter. Alle deres ensliggende vinkler er de samme. Vinklen BAC lige her er ligeså stor som vinkel XYZ. Vinkel BCA og vinkel YZX er kongruente, og vinkel ABC og vinkel XYZ er kongruente. Alle deres ensliggende vinkler er altså de samme. Vi kan også se, at siderne på den ene trekant er en forstørrelse af siderne på den anden. Når vi går fra linjen XZ til AC på den store trekant, skal vi gange XZ med 3. Ganger vi længden på XY med 3, får vi længden på AB. XY og AB er selvfølgelig to ensliggende sider. For at komme fra XY til AB ganger vi altså XY med 3. For at komme fra længden af YZ til længden af BC skal vi også gange med 3. Vi ganger altså også med 3 her. Trekant ABC er altså en forstørret udgave af trekant XYZ. Hvis sidelængderne havde været de samme i de to trekanter, havde de været identiske. Den eneste forskel på dem er, at den ene er større end den anden. Det her er en miniatureudgave af trekant ABC. Hvis man ganger alle sider med 3 i trekant XYZ, får man trekant ABC. Hvis vi gjorde det, kunne vi kalde dem kongruente, men som de er nu, er de ikke kongruente. Vi kalder dem i stedet ligedannede. Vi kan altså skrive, at trekant ABC og trekant XYZ er to ligedannede trekanter. Vi skal være sikre på, at vi skriver navnene rigtigt op, så de ensliggende sider kommer til at passe sammen. Trekant ABC og trekant XYZ er ligedannede. ABC og XYZ. Når vi tænker på det, vi lige har set, er der faktisk 3 ting i det her. Alle 3 ting er måder, man kan bruge til at se, om trekanter er ligedannede. En måde at tænke på det er, at den ene trekant er en forstørret udgave af den anden. Altså kan man sige, at trekanten enten skal være en forstørret eller formindsket udgave af en anden trekant. . Når vi taler om kongruens, skal trekanter være helt identiske. Man kan rotere, vende og dreje trekanterne, men selvom man gør alle de ting, vil trekanterne stadig være identiske. Med ligedannethed kan man også rotere, vende, dreje og man kan også forstørre eller formindske, hvis to trekanter er ligedannede. Hvis vi for eksempel siger, at noget er kongruent. Lad os for eksempel sige, at vi ved, at trekant CDE og FGH er kongruente. Vi ved, at CDE og FGH er kongruente. I det tilfælde ved vi også med sikkerhed, at de er ligedannede. Når de to trekanter er kongruente, er de forstørret med faktor 1, og så ved vi altså, at trekant CDE og trekant FGH også er ligedannede. Vi kan dog ikke sige det samme i det omvendte tilfælde. Når vi ved, at trekant ABC og XYZ er ligedannede, kan vi ikke nødvendigvis sige, at de også er kongruente. I det eksempel vi har tegnet her, er de helt klart ikke kongruente. Det er altså én måde at tænke på ligedannethed. Den anden måde at tænke på ligedannethed er, at alle ensliggende vinkler skal være lige store. Hvis to trekanter er ligedannede, så vil alle de ensliggende vinkler være kongruente. Det er vigtigt at huske, for to trekanter vil ikke være ligedannede, hvis de ensliggende vinkler ikke er lige store. Hvis for eksempel kun én af vinklerne i de to trekanter er ens, vil der ikke være tale om ligedannethed. Det er en vigtig huskeregel at have i baghovedet. . Hvis vi siger, at trekant ABC og trekant XYZ er ligedannede, er det det samme som at sige, at vinkel ABC og vinkel XYZ er kongruente. Det vil altså sige, at vinkel ABC og vinkel XYZ er lige store. . Derudover vil vinkel BAC og YXZ være kongruente. Vinkel BAC og vinkel YXZ vil være kongruente. Til sidst vil vinkel ACB og vinkel XZY være kongruente. Vinkel ACB og vinkel XZY vil altså være lige store. XZY. Vinkel XZY. Hvis vi har to trekanter, og alle de ensliggende vinkler er de samme, så kan vi sige, at trekanterne er ligedannede. Omvendt kan vi sige, at hvis vi får at vide, at to trekanter er ligedannede, så ved vi ud fra den oplysning, at de ensliggende vinkler er kongruente. Den sidste måde at se det på er, at alle siderne bare er forstørrede eller formindskede versioner af hinanden. Siderne er altså enten forstørret eller formindsket med den samme faktor. Den faktor kalder man skalafaktoren. I vores eksempel er skalafaktoren 3. Skalafaktoren er ikke altid 3, men den skal altid være det samme for alle siderne. Hvis den her side er forstørret med faktor 3, og den her side kun var forstørret med faktor 2, så ville trekanterne ikke være ligedannede. Hvis skalafaktoren for alle siderne var 7 i stedet for 3, ville de to trekanter stadig være ligedannede. Så længe man enten forstørrer eller formindsker alle siderne med den samme faktor, vil trekanterne være ligedannede. Nu ruller vi lige lidt ned på siden. Lad os tegne en skitse af to trekanter igen, så vi stadig kan kigge på dem. Nu snakker vi altså ligedannethed generelt og ikke noget specifikt eksempel. Vi kan sige, at vi har trekant ABC her. Trekanten herovre er trekant XYZ. Vi tegnede dem op, så vi kan referere til dem, når vi skriver hernede. Hvis vi siger, at de to trekanter herovre er ligedannede, betyder det, at de ensliggende sider er forstørrede udgaver af hinanden. Hvis vi starter med linjestykket AB, kan vi sige, at AB er lig en eller anden skalafaktor. . Skalafaktoren kan godt være mindre end 1. En eller anden skalafaktor skal ganges med XY for at få længden af AB. Vi ved, at AB og XY er ensliggende, fordi vi skrev trekanterne op, som vi gjorde. AB er altså en eller anden skalafaktor gange XY. For at finde længden af BC ved vi, at vi skal gange med den samme skalafaktor, som vi brugte før. BC er altså lig med den samme skalafaktor gange længden af YZ. BC er lig YZ gange skalafaktoren. Til sidst kan vi finde længden af AC med samme metode som før. Længden af AC er lig med den samme skalafaktor gange XZ. Det er XZ og det her kunne være skalafaktoren. Hvis vi siger at AB er længere end XY, og at trekant ABC dermed er større end trekant XYZ, så vil skalafaktoren, K, være større end 1. Hvis de to trekanter er præcis lige store, vil de være kongruente, og så vil skalafaktoren være 1. Hvis trekant XYZ er større end trekant ABC, vil skalafaktoren være mindre end 1. . Alle de ensliggende sider er altså forstørrede udgaver af hinanden. Ved det første udsagn her kan vi dividere med XY på begge sider, og så får vi, at AB over XY er lig skalafaktoren, K. Ved det andet udsagn kan vi dividere med YZ på begge sider. Det gør vi lige i den samme farve. Vi dividerer med YZ på begge sider og får, at BC divideret med YZ er lig med skalafaktoren, K. . I eksemplet vi havde før var skalafaktoren 3, men nu snakker vi om skalafaktoren som et mere generelt begreb. Skalafaktoren skal altid være den samme for alle siderne. I det sidste udsagn kan vi dividere med XZ på begge sider. Vi dividerer altså med længden af siden XZ på begge sider af lighedstegnet, og så får vi, at AC over XZ er lig med skalafaktoren, K. . En anden måde at se det på er, at forholdet mellem de ensliggende sider skal give den samme konstant. Forholdet mellem AB og XY. AB og XY. Forholdet mellem BC og YZ, BC og YZ. Forholdet mellem AC og XZ, AC og XZ. Forholdet mellem alle de ensliggende sider skal give den samme konstant. Man kan omskrive det til AB over XY er lig med BC over YZ, som er lig med AC over XZ, hvilket er lig med vores skalafaktor. Det er lig med skalafaktoren, K. Nu kan vi lige opsummere lidt. Vi kan lige tegne en pil herovre. Når man har to ligedannede trekanter, betyder det, at de er forstørrede eller formindskede udgaver af hinanden. Man kan rotere, vende og dreje trekanterne, så tosset man vil, og man kan forstørre eller formindske alle siderne. Det betyder, at de ensliggende vinkler er kongruente, og det betyder også, at forholdet mellem de ensliggende sider vil være det samme for alle siderne. Forholdet mellem de ensliggende sider er konstant.