Introduktion til ligedannede trekanter

Når vi sammenligner trekant ABC med trekant XYZ, er det ret tydeligt, at de ikke er kongruente. De har meget forskellige sidelængder. Alligevel er der noget interessant ved de to trekanter. Alle deres tilsvarende vinkler er de samme. Vinkel BAC er kongruent med vinkel YXZ. Vinkel BCA er kongruent med vinkel YZX og vinkel ABC er kongruent med vinkel XYZ. Alle deres tilsvarende vinkler er altså de samme. Vi kan også se, at siderne er skalerede udgaver af hinanden. Når vi går fra linjen XZ til AC ganger vi med 3. Når vi går fra længden af XY til længden af AB, som er den tilsvarende side, så ganger vi med 3. For at gå fra længden af YZ til længden af BC, så skal vi også gange med 3. Trekant ABC er altså en skaleret udgave af trekant XYZ. Hvis de var i samme størrelse, så ville de være helt de samme trekanter, men den ene er en forstørret udgave af den anden eller det her er en mini udgave af trekant ABC. Hvis man ganger alle sider med 3, så får man trekant ABC. Vi kan ikke kalde dem kongruente, men der er en særlig sammenhæng. Vi kalder denne særlige sammenhæng for ligedannethed. Vi kan skrive, at trekant ABC er ligedannet med trekant -- Vi skal sikre os, at de tilsvarende sider er rigtige -- ABC er ligedannet med trekant XYZ. Når vi tænker over det vi har set, så er der faktisk tre begreber her. Alle tilsvarende måder at se på ligedannethed på. En måde at se det på er, at den ene trekant er en skaleret udgave af den anden. Altså en forstørret eller formindsket udgave af den anden trekant. Når vi taler om kongruens, så skal de være helt identiske. Man kan dreje, flytte eller spejle dem, og selvom man gør alle de ting, så er de identiske. Med ligedannethed kan man dreje, flytte, spejle, og man kan også skalere op eller ned, hvis ting er ligedannede. Lad os for eksempel sige, at trekant CDE er kongruent med trekant FGH, så ved vi med sikkerhed, også at de er ligedannede. De er skaleret med en faktor på 1. Vi ved altså, at trekant CDE også er ligedannet med trekant FGH. Vi kan ikke gøre det omvendte. Hvis trekant ABC er ligedannet med XYZ, så kan vi ikke nødvendigvis sige, at de er kongruente. I dette eksempel er de helt klart ikke kongruente. Det er én måde at se på ligedannethed. En anden måde at se på ligedannethed er, at alle tilsvarende vinkler skal være lige store. Hvis noget er ligedannet, så vil alle tilsvarende vinkler være kongruente. Hvis vi siger, at trekant ABC er ligedannet med trekant XYZ, som svarer til at sige, at vinkel ABC er kongruent med vinkel XYZ. Vinkel BAC er kongruent med vinkel YXZ. Til sidst er vinkel ACB kongruent med vinkel XZY. Hvis vi har to trekanter og alle tilsvarende vinkler er ens, så er trekanterne ligedannede. Omvendt hvis vi får at vide, at to trekanter er ligedannede, så ved vi, at de tilsvarende vinkler er ens. Den sidste måde at se det på er, at siderne er skalerede udgaver af hinanden. Siderne er skaleret med den samme faktor. I vores eksempel er skaleringsfaktoren 3. Den skal ikke være 3, men den skal altid være det samme for alle siderne. Hvis denne side er skaleret med en faktor på 3, og den her side kun er skaleret med en faktor på 2, så vil trekanterne ikke være ligedannede. Hvis alle sider skaleres med en faktor på 7, så er trekanterne stadig ligedannede. Bare de alle er skaleret op eller ned med den samme faktor, -- jeg laver lige lidt plads -- Nu snakker vi generelt og ikke kun i dette tilfælde. Dette er trekant ABC og det her er trekant XYZ. Jeg har tegnet dem igen, så jeg kan henvise til dem, når jeg skriver hernede. Hvis vi siger, at de to trekanter er ligedannede, så er de tilsvarende sider skaleret udgaver af hinanden. Længden af AB er lig en skaleringsfaktor, der kan være mindre end 1, gange længden af XY, den tilsvarende side. Jeg ved, at AB er tilsvarende med XY, fordi vi skrev trekanterne op, som vi gjorde. AB er lig en skaleringsfaktor gange XY. Vi ved, at længden af BC er lig den samme skaleringsfaktor gange længden af YZ. Og vi ved, at længden af AC er lig den samme skaleringsfaktor gange XZ. Hvis ABC er større end XYZ, så vil skaleringsfaktoren, K, være større end 1. Hvis de er præcis lige store, så de er kongruente trekanter, så er skaleringsfaktoren 1. Hvis XYZ er større end ABC, så vil skaleringsfaktoren være mindre end 1. Da tilsvarende sider er skalerede udgaver af hinanden, så kan vi i det første udsagn dividere på begge sider med XY, og så får vi, at AB over XY er lig skaleringsfaktoren, K. I det andet udsagn kan vi dividere på begge sider med YZ og får, at BC divideret med YZ er lig med skaleringsfaktoren, K. I eksemplet var skaleringsfaktoren 3, men nu snakker vi mere generelt. Der er ligedannethed, når skaleringsfaktoren er den samme. I det sidste udsagn kan vi dividere på begge sider med XZ og vi får, at AC over XZ er lig skaleringsfaktoren, K. Eller man kan sige, at forholdet mellem tilsvarende sider, forholdet mellem AB og XY, forholdet mellem BC og YZ, forholdet mellem AC og XZ, forholdene mellem de tilsvarende sider, alle skal give den samme konstant. Eller vi kan skrive, at AB over XY er lig med BC over YZ, som er lig med AC over XZ, som er lig med en skaleringsfaktor K. Når vi har ligedannede trekanter -- lad mig tegne en pil -- betyder det, at de er skalerede udgaver, som kan spejles og drejes som ved kongruens, og du kan skalere dem op eller ned. Det betyder, at alle de tilsvarende vinkler er kongruente, som også betyder, at forholdet mellem de tilsvarende sider er den samme konstant for alle tilsvarende sider, eller forholdet mellem tilsvarende sider er konstant.