Afgør om trekanter er ligedannede

I den her video vil vi finde ud af, om nogle af de her trekanter er ligedannede. Vi skal bevise, at de er ligedannede ved at bruge nogle af de regler, vi har lavet for ligedannethed. Herovre har vi trekant BDC, og den er indeni trekant AEC. De har både den vinkel her. Det giver os altså en af vinklerne. Vi har brug for to vinkler for at vise, at de er ligedannede. Vi ved, at de her to linjer er parallelle, og når to linjer er parallelle, ved vi, at de ensliggende vinkler vil være kongruente. Den vinkel vil altså være ensliggende med den vinkel herovre. Vi er færdige. Vi har en vinkel i trekant AEC, som er kongruent til en vinkel i trekant BDC. Vi har også den vinkel her, som er kongruent til sig selv. Den vinkel er i begge trekanter, så begge trekanter har altså to ensliggende vinkler, som er kongruente, og derfor må trekanterne være ligedannede. Lad os skrive det ned. Trekant ACE. Vi skal lige have bogstaverne i den rigtige rækkefølge. Den blå vinkel her er vinkel B. Fra B går vi til den hvide vinkel C. Til sidst går vi til den ukendte vinkel D. BCD. Det var den første opgave. Lad os lave en opgave herovre nu. Den minder lidt om den anden, men det er ikke samme opgave, for YZ er slet ikke parallel med ST. Vi kan altså ikke bruge reglen om ensliggende vinkler. YZ er nemlig ikke parallelt med noget i trekanten. Vi kan altså ikke bare kigge på trekanten og sige, hvorfor den er ligedannet. Vi skal i stedet se på, hvilke informationer vi får i trekanten. Hvis de her ikke var parallelle, kunne vi ikke have løst opgaven, som vi gjorde. Vi har den her vinkel, som både er i den indre trekant og den ydre trekant. Vinklen ved vinkelspids X er altså i begge trekanter. Derudover har vi fået længden på nogle af siderne. Måske vi kan prøve med side-vinkel-side-reglen for ligedannethed. Vi skal altså have fat i forholdet mellem siderne på begge sider af trekanten. Hvis vi kan vise, at der er det samme forhold mellem siderne i den lille trekant og den store trekant, så kan vi vise, at de er ligedannede. Vi skal kigge på begge sider af vinklen heroppe. . Lad os kigge på den korte side ved den vinkel heroppe. For den lille trekant er den korte side 2, og lad os så kigge på den korte side for den store trekant. På den store trekant vil den korte side være på den højre side. Den side vil hedde XT. Nu vil vi sammenligne forholdet mellem siderne. Vi vil altså se, om forholdet mellem XY og XT er lig med forholdet mellem den lange af side i den lille trekant og den lange side i den store. Den lange side i den lille er altså her. Er forholdet mellem den her side og den lange side i den store trekant lig med XZ over den lange side i den store trekant, når man kigger på den vinkel heroppe. . Det må altså blive XZ over XS. Det er måske lidt forvirrende, fordi trekanterne ikke ligner hinanden, som de ligger nu. Vi tænker på den korte side på begge sider af den her vinkel, og så på den lange side på begge sider af den her vinkel. De her er altså de korte sider på den lille trekant og på den store trekant, og de her er de lange sider på den lille og på den store trekant. Vi kan se, at XY er lig 2. XT er 3 plus 1, hvilket er 4, XZ er 3 og XS er 6. Vi har altså forholdet 2 over 4, hvilket er det samme som 3 over 6. Forholdet mellem de korte sider er altså 2 over 4, hvilket er en halv, og forholdet mellem de lange sider er 3 over 6, hvilket også er en halv. Forholdet er altså det samme. Vi ved fra side-vinkel-side-reglen, at de to trekanter derfor er kongruente. Vi skal være forsigtige med, hvordan vi skriver trekanterne op, for vi skal have de ensliggende sider til at passe sammen. Vi løber lidt tør for plads hernede, så vi skriver det heroppe i stedet. Vi ved, at de to trekanter er ligedannede, og vi kan starte med at skrive trekant XYZ op. I den anden trekant startede vi ved vinkel X, og så gik vi til den korte side først. Derfor starter vi ved X og går til den korte side af den store trekant. Den kommer derfor til at hedde XTS. Trekant XYZ og trekant XTS er derfor ligedannede. Lad os nu kigge på trekanten herovre. I den store trekant har vi en ret vinkel her. Vi ved faktisk ikke noget om vinklerne i de små trekanter. Vi ved ingenting om deres vinkler. . Det her ser ud til at være en ret vinkel, men det kan vi ikke uden videre antage. Hvis vi kigger på den lille trekant herovre, kan vi se, at den deler en side med den store trekant. Det er dog ikke nok til at kunne gøre noget. Trekanten herovre deler også en side med den store trekant, men vi kan stadig ikke gøre noget. Vi kan faktisk ikke komme med nogle udsagn om ligedannethed i den her opgave. De her trekanter er altså ikke ligedannede. Hvis vi havde nogle flere informationer, ville vi kunne gøre noget. Trekanterne deler nogle af vinklerne. Den store og den lille trekant har for eksempel begge to den her vinkel. Vi kunne altså bevise, at de var ligedannede, hvis vi vidste, om vinklen herinde var rette. Selvom vinklerne ser rette ud, kan vi ikke være helt sikre. Lige nu kan vi altså ikke gøre noget for at bevise, at de er ligedannede. Lad os i stedet prøve med de to trekanter hernede til venstre. De her er de første, der er blevet skilt ad. Vi kender længderne af alle 3 sider på begge trekanter, så lad os kigge på forholdet mellem siderne. Forholdet mellem de ensliggende sider skal være det samme. Lad os starte med den korte side. Den her korte side er 3, og den korteste side herovre er 9 gange kvadratrod 3. Vi skal altså finde ud af, om forholdet mellem 3 og 9 gange kvadratrod er det samme som forholdet mellem den næstlængste side herovre, 3 gange kvadratrod 3 og den næstlængste side herovre, som er 27. Vi mangler stadig forholdet mellem de to længste sider. Det skal altså være lig med forholdet mellem de to længste sider. Den længste side her er 6, og den længste side herovre er 18 gange kvadratrod 3. Lad os se hvad det giver os. Vi skriver det lige i en neutral farve. Det her bliver 1 over 3 gange kvadratrod 3. Det her bliver 1 gange kvadratrod 3 over 9, og det ser umiddelbart ud til at være forskelligt fra 1 over 3 gange kvadratrod 3. Vi skal være forsigtige her. Nu kommer vi til brøken herovre til højre. Hvis vi dividerer med 6 i både tælleren og nævneren, bliver det her 1, og det her bliver 3 gange kvadratrod 3. Vi får 1 over 3 gange kvadratrod 3, som skal være lig kvadratrod 3 over 9, som skal være lig med 1 over 3 gange kvadratrod 3. Tallene ser umiddelbart ud til at være forskellige, men vi kan faktisk omskrive den her nævner til en brøk. Vi kan vise, at hvis man ganger 1 over 3 gange kvadratrod 3 med kvadratrod 3 over kvadratrod 3, så får vi i tælleren kvadratrod 3 over kvadratrod 3 gange kvadratrod 3 er 3, gange 3 er 9. De tre brøker er derfor de samme. Det her er 1 over 3 gange kvadratrod 3, hvilket er det samme som kvadratrod 3 over 9. Det er det samme som 1 over 3 gange kvadratrod 3. De 2 trekanter er derfor ligedannede. Vi skal lige være sikre på, at vi skriver bogstaverne i den rigtige rækkefølge. Vi starter med E, som er mellem den blå og den lilla side. Mellem den blå og den lilla side herovre har vi H. Nu kigger vi på trekanten til venstre igen, og der har vi E allerede. Vi går fra E langs den blå side ned til F. Nu går vi langs den blå side herovre. Hov undskyld, vi gør det lige igen. Vi skriver det bare på den her måde. Vi har trekant EFG, som vi ved er ligedannet. E er mellem den blå og den lilla side. Mellem den blå og lilla side har vi H herovre. Nu går vi langs den blå side til F. På trekanten til højre går vi langs den blå side til I. Til sidst går vi langs den orange side til G, og på trekanten til højre langs den orange side til J. Trekant EFG og trekant HIJ er altså ligedannede. Det har vi bevist med side-side-side-reglen. Siderne er ikke kongruente, men forholdet mellem siderne er det samme, og derfor er de ligedannede. Lad os kigge på de sidste to trekanter herovre til højre. Lad os se hvad vi har at gøre godt med. Vi har en vinkel, som er kongruent til en anden vinkel herovre. Vi har også længden af to sider på begge trekanter, så det er oplagt at bruge side-vinkel-side reglen, fordi vi har en side, en vinkel og en side her. Selv forholdet mellem sidelængderne ser ret nemt ud. 4 gange 2 er 8 og 5 gange 2 er 10. Den her opgave er dog lidt drilsk, fordi det er ikke de samme ensliggende sider. Hvis vi skal kunne bruge side-vinkel-side reglen, skal siderne være ensliggende. De kendte sider skal altså være på begge sider af vinklen. I det her tilfælde er sidelængderne ikke på begge sider af vinklen. Her er 4 nemlig på den ene side, men 5 er ikke på den anden side af vinklen. Hvis 5-tallet var herovre, ville vi kunne bevise, at de to trekanter var ligedannede, men fordi 5-tallet ikke er på den anden side af vinklen, kan vi ikke sige, at de to trekanter er ligedannede. Vi kan ikke bruge side-vinkel-side reglen, og der er faktisk ikke gøre noget for at vise, at de er ligedannede. De to sidste trekanter er altså ikke ligedannede.