Sætninger for ligedannethed i trekanter

Lad os sige, at vi har trekant ABC og den ser nogenlunde således ud. Vi skal finde nogle sætninger, som vi kan bruge til at bestemme, om en anden trekant er ligedannet med trekant ABC. Vi ved allerede, hvis alle tre vinkler er kongruente med de tilsvarende vinkler i trekant ABC, så er de to trekanter ligedannede. For eksempel, hvis denne vinkel er 30 grader, den her er 90, og vinklen herover er 60 grader og vi har en anden trekant, som ser sådan her ud, -- den her helt sikkert mindre end den første -- og vinklerne er 30 grader, 90 grader og 60 grader, så ved vi, at trekant XYZ er ligedannet med trekant ABC. Da de tilsvarende vinkler er kongruente, ved vi, at trekant ABC er ligedannet med trekant XYZ. Det skal være i den rigtige rækkefølge, så de rigtige vinkler er tilsvarende. Y er tilsvarende med 90-graders vinklen. X er tilsvarende med 30-graders vinklen og A er er vinklen på 30 grader, så A og X hører altså sammen, B og Y, som er 90-grader vinklerne, hører sammen og til sidst hører C og Z sammen. Det ved vi, når vi kender tre vinkler, men er tre vinkler nødvendige? Hvis vi kun kendte to af vinklerne, er det nok? Det er det, fordi når du kender to vinkler i en trekant, så kender du den tredje. For eksempel har jeg en anden trekant, som ser således ud og jeg fortæller, at kun to af de tilsvarende vinkler er kongruente. Måske er den her vinkel kongruent med den her vinkel og den her vinkel er kongruent med den her. Er det nok til at sige, at de to trekanter er ligedannede? Selvfølgelig. Når du kender to vinkler i en trekant, så ved du, hvad den sidste vinkel er. Hvis du ved, at den her er 30 og den her er 90, så ved du, at den her skal være 60 grader. Ligemeget hvad disse to vinkler er, træk dem fra 180, og så har man den sidste vinkel. Generelt for at vise ligedannethed, så behøver man ikke vise, at tre tilsvarende vinkler er kongruente, du behøver blot at vise to. Det er den første sætning for ligedannethed. Vi kan kalde den vinkel-vinkel. Hvis du kan vise, at to tilsvarende vinkler er kongruente, så har vi ligedannede trekanter. For eksempel lad os skrive nogle tal her. Hvis du viser, at denne er 30 grader og i denne trekant er denne 90 grader, så ved vi at denne trekant herover er ligedannet med den. Du kan nemt finde den tredje vinkel. Du siger, den tredje vinkel er 60 grader, så alle tre vinkler er de samme. Det er en betingelse for ligedannethed. Den anden ting, vi ved om ligedannethed er at forholdet mellem alle siderne skal være det samme. Hvis vi har endnu en trekant herovre. Jeg tegner lige endnu en trekant. Jeg kalder denne trekant XYZ. Lad os se på forholdet mellem AB og XY, altså AB / XY. Forholdet mellem den side og denne side. Vi siger ikke de er kongruente. Vi kigger på deres forhold nu. Vi kan sige, at AB / XY er lig BC / YZ og det er lig med AC/XZ. Det er en af måderne man kan vise ligedannethed. Hvis forholdet mellem alle tre tilsvarende sider er det samme, så ved vi, at vi har ligedannede trekanter. Denne sætning kalder vi side-side-side-ligedannethed. Det skal ikke blandes sammen med side-side-side-kongruens. Her er vores sætninger for ligedannethed. Det er ting, vi antager og bygger på for at løse opgaver eller vise andre ting. Side-side-side, når vi snakker om kongruens, betyder, at de tilsvarende sider er kongruente. Side-side-side, når vi snakker ligedannethed, betyder, at forholdet mellem de tilsvarende sider er det samme. For eksempel hvis den herovre er 10. Nej, vi siger 60 i stedet for og denne her er 30, og siden herovre er 30 gange kvadratrod 3. Jeg brugte disse tal, fordi vi snart skal se på, hvilke forhold der er mellem siderne i 30-60-90 trekanter. Lad os sige, at siderne herovre er 6, 3 og 3 gange kvadratrod 3. Læg mærke til, at AB / XY er 30 gange kvadratrod 3 over 3 gange kvadratrod 3, og det er 10. Hvad er BC / XY? 30 divideret med 3 er 10. Hvad er så 60 divideret med 6? AC / XZ, det er også 10. For at gå fra en tilsvarende side her, til den tilsvarende side der, skal vi altid gange med 10 for hver side. Vi siger ikke, at siderne er kongruente, eller er det samme, ved side-side-side-ligedannethed. Vi siger, at vi skalerer dem lige meget, eller forholdet mellem de tilsvarende sider er det samme. Lad os prøve med en ny trekant. Jeg tegner den lige, men lader dette stå, så vi har vores regler. Vi tegner en anden trekant ABC. Dette er A, B og C. Vi ved, at for denne side, når vi går til en anden trekant, så er XY lig med AB gange en konstant. Jeg kan skrive XY = K AB Lad mig lige tegne XY, så den er større. Det behøver den ikke være, da konstanten kan være mindre end 1. Lad mig lige lave XY en smule større. Lad os sige, at det her er X, og det her er Y. Vi ved, at XY / AB er lig en konstant. Hvis du ganger begge sider med AB, så får du, at XY er en skaleret udgave af AB. Måske AB er 5 og XY er 10, så vil vores konstant være 2. Vi forstørrede AB med en faktor på 2. Vi ved også, at vinkel ABC er kongruent med vinkel XYZ. -- jeg tilføjer lige et punkt mere og tegner endnu en side, dette er Z -- Vi ved også, at vinkel ABC er kongruent med vinkel XYZ. Vi ved, at forholdet mellem BC og YZ også er denne konstant. I dette eksempel hvor disse er 5 og 10, så er de her måske 3 og 6. Med denne konstant fordobler vi længden af siden. Er trekant XYZ ligedannet? Hvis XY er det samme multipla af AB, som YZ er af BC, og vinklen imellem er kongruent, så er der kun en mulig trekant, vi kan tegne herover. Vi har begrænset længden af denne side. Længden af denne side skal være skaleret på samme måde som her. Vi kalder det for side-vinkel-side-ligedannethed. Vi har også sætninger for SSS og SVS kongruens, men her betyder de noget andet. Her siger vi med SVS, at hvis forholdet mellem tilsvarende sider i de to trekanter er det samme, så AB og XY er et sæt af tilsvarende sider og et andet sæt af tilsvarende sider er BC og YZ og vinklen mellem dem er kongruent, så kan vi sige de er ligedannede. SVS for kongruens siger, at siderne skal være kongruente. Her siger vi, at forholdet mellem de tilsvarende sider skal være det samme. Lad os bruge SVS med nogle eksempler. Denne trekant har siderne 3, 2 og 4. Vi har en anden trekant her, som har sidelængderne 9 og 6. Vi ved også, at vinklen mellem dem er kongruent. Denne vinkel er lig med den her vinkel. SVS for ligedannethed siger, at disse trekanter uden tvivl er ligedannede trekanter, da vi er begrænset til kun at tegne én trekant herover. Det er den trekant, hvor alle siderne er skaleret lige meget. Der er altså kun én side, vi kan tegne her, og den skal ligeledes skaleres med 3. Det er den eneste mulige trekant, når denne side er begrænset. Denne er 3 gange den side og denne er 3 gange den side, og vinklen mellem dem er kongruent, så er der kun én trekant, vi kan tegne. Vi ved, der er en ligedannet trekant, hvor alt er skaleret med en faktor på 3. Derfor må den ene trekant, vi kan tegne, være den ligedannet trekant. Det er det, vi siger med SVS, ikke at den side er kongruent med den side, eller at denne side er kongruent med den her. Vi siger, at de er skaleret med samme faktor. Hvis vi har en anden trekant, der ser således ud, hvor denne er 9 og den her er 4 og vinklen mellem dem er kongruent, så kan vi ikke sige, at de er ligedannede, da denne side er skaleret med en faktor 3. Denne side er kun skaleret med en faktor 2. Derfor kan vi ikke sige, at den er ligedannet. På samme måde, hvis vi har en trekant, med længden 9 her og længden 6 her, men vi ved ikke, om disse to vinkler er ens, så har vi ikke begrænset det nok, og vi kan ikke vide om de to trekanter er ligedannede. Da du ikke ved om den mellemliggende vinkel er den samme. Der er et par sætninger mere. Vi har VVS kongruens. Men vi har allerede vist, at to vinkler er nok til at vise ligedannethed. Man behøver altså ikke bruge vinkle vinkel side. Ingen grund til det. Vi har også vinkel-side-vinkel kongruens, men igen, vi ved, at to vinkler er nok, så vi behøver ikke denne side. Disse er vores sætninger for ligedannethed. Det er vigtigt at huske, at side-side-side ligedannethed ikke er det samme som side-side-side kongruens. Vi bruger forholdet mellem de tilsvarende sider og ikke at de er kongruente. Side-vinkel-side her er forskellig fra side-vinkel-side kongruens. De hænger sammen, men her snakker vi om forholdet mellem siderne og ikke deres længder.