Hovedindhold

Emne: (Videregående geometri > Emne 9

Modul 2: Cavalieris princip og dissektionsmetoder

Rumfang af pyramide eller kegle

Hvor kommer 1/3 fra i formlen for rumfang af en pyramide? Hvordan hænger rumfanget af en kegle sammen med dette? Hvad med skæve pyramider (pyramider, der hælder til siden)?

Hvad er pyramider og kegler?

En pyramide er samlingen af alle punkter (inklusive) mellem en polygon som grundflade og en spids, der er i et andet plan end grundfladen.

En anden måde at tænke på en pyramide er som en samling af alle skaleringer af grundfladen med spidsen som centrum for skalering med en skaleringsfaktor der går fra

0

til

1

En kegle er en pyramide-lignende figur, hvor grundfladen er en cirkel eller en anden lukket kurve i stedet for en polygon. En kegle har en buet sideflade i stedet for trekantede sider som i en pyramide. Rumfanget af disse to typer af figurer udregnes ens.

Rumfang af en pyramide

Formlen for rumfanget

V

af en pyramide er

V = \frac{1}{3} (grundflade) (højde)

. Hvor kommer denne formel fra?

Hvor kommer $\frac{1}{3}$ ‍ fra i formlen?

Antag, vi starter med en terning med en sidelængde på

1

enhed. Vi kan opdele denne terning i

3

ens pyramider.

Opgave 1

Hvad er rumfanget af hver pyramide?

kubikenheder

Desværre, nej. Her er

3

kongruente pyramider, der ikke kan sættes sammen til hverken en terning eller en anden type af prisme.

Vi kan dog altid opdele en kasse eller et trekantet prisme i

3

pyramider med lige store rumfang, men disse pyramider vil kun være kongruente i det særlige tilfælde, at man starter med en terning.

Skalering af pyramider

Skalering af en pyramide forløber præcis på samme måde som en skalering af den kasse, der omslutter pyramiden. Når vi skalerer en pyramide med rumfang

V_{før}

med skaleringsfaktorerne

r

s

, og

t

i de tre vinkelrette retninger, så er rumfanget af den skaleret figur

V_{skaleret}

lig med

V_{før} \cdot r \cdot s \cdot t

Lad os se, hvad der sker, når vi skalerer i én retning - opad.

Når vi skalerer højden af en prisme, ændrer vi antallet af skiver. De nye skiver vil have samme areal som de oprindelige.

Det ser lidt mærkeligt ud, når der ikke er så mange skiver.

Men når vi laver tyndere og tyndere skiver (og når vi kommer tættere på et uendeligt antal skiver), begynder den skalerede pyramide at se ud præcis som en "glat" pyramide. Da vi har skaleret antallet af skiver, ændres rumfanget med den samme skaleringsfaktor.

Vi kunne gentage denne proces i hver dimension.

Opgave 2

Følgende pyramide er en skaleret version af den firkantede pyramide ovenfor. Den firkantet pyramide er skaleret med tre forskellige skaleringsfaktorer - én i hver retning.

Hvad er rumfanget af denne pyramide?

{cm}^{3}

Bemærk: Rumfanget af pyramiden er stadig

\frac{1}{3}

af rumfanget af den kasse, som omslutter den, også når de begge er skaleret.

Forskudte skiver

Forestil dig, vi opdeler pyramiden i skiver parallelle med dens grundflade. Vi kan skubbe disse skiver og skabe en forskudt pyramide med det samme rumfang. Hvis antallet af skiver kommer tæt på uendelig den sidefladerne på den forskudte pyramide blive glatte.

Cavalieris princip siger, at så længe vi ikke ændrer højden eller arealerne i pyramidens skiver, der er parallelle med grundfladen, ændrer vi ikke rumfanget! Vi kan derfor bruge den samme formel for rumfang af enhver pyramide uanset, hvor spidsen er placeret i forhold til grundfladen.

Opgave 3

Hvad er rumfanget af pyramiden?

m^{3}

Ændring af grundfladens form

Der er en anden fascinerende anvendelse af Cavalieris princip på pyramider; når de to grundflader har det samme areal men forskellige former. Hvis højden og grundfladearealet af to pyramider eller

rumlige figurer er lige store, så er deres rumfang det også, fordi arealerne af alle skiver parallelt med grundfladen også er lige store.

Lad os antage, at begge pyramide-lignende figurer havde en højde på

h

og et grundfladeareal på

B

Tværsnittene af en pyramide-lignende figur svarer til en samling af skaleringer af grundfladen omkring spidsen med alle skaleringsfaktorer fra

0

til

1

. Lad os bestemme arealet af tværsnittet efter en skalering med skaleringsfaktoren

k

Skaleringen ændrer længder med

k

, fordi de er skaleret i

1

retning og ændrer arealer med

k^{2}

, fordi de er skaleret i

2

retning.

For enhver afstand

k h

fra spidsen, har tværsnittene af begge figurer et areal på

k^{2} \cdot B

. Så Cavalieris princip gælder, og de rumlige figurer har lige store rumfang.

Derfor kan formlen

V_{pyramide} = \frac{1}{3} (grundflade) (højde)

bruges uanset grundfladens form.

Opgave 4.1

Følgende pyramide har en ligebenet retvinklet trekant som grundflade.

Hvad er rumfanget af pyramiden?

{cm}^{3}

Endnu et bevis på forholdet $\frac{1}{3}$ ‍

Du kan også overbevise dig selv om, at rumfanget af enhver pyramide er

\frac{1}{3}

af rumfanget af den kasse, som omslutter den ved at lave følgende tankeeksperiment:

Vi kan modellere en pyramide som værende opbygget af kasser oven på hinanden. Denne model har et rumfang, der er større end pyramidens egentlige rumfang. Når laver kasserne mindre og mindre kommer vi tættere og tættere på rumfanget af pyramiden.

Antal kasser	$\frac{Tilnærmelse af pyramidens rumfang}{Rumfang af omsluttende kasse}$ ‍
$4$ ‍	$\approx 0,469$ ‍
$16$ ‍	$\approx 0,365$ ‍
$64$ ‍	$\approx 0,341$ ‍
$256$ ‍	$\approx 0,335$ ‍
$1024$ ‍	$\approx 0,334$ ‍
$4096$ ‍	$\approx 0,333$ ‍
$\infty$ ‍	$\frac{1}{3}$ ‍

Da pyramide-lignende figurer kan have enhver lukket figur som grundflade, og da vi kan forskyde dens skiver uden at ændre rumfanget, gælder dette forhold for alle pyramide-lignende figurer, også kegler.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Videregående geometri