Trigonometri i retvinklede trekanter

Særlige retvinklede trekanter er to specifikke typer af retvinklede trekanter, der har unikke forholdstal mellem deres side længder. Vi kan bruge Pythagoras' læresætning til at overbevise os selv om, at disse forholdstal er rigtige.

Den første type er $45\mathrm{°}$‍-$45\mathrm{°}$‍-$90\mathrm{°}$‍-trekanten, hvor de to kateter har samme længde og hypotenusen er $\sqrt{2}$‍ gange kateternes længder. Den anden type er $30\mathrm{°}$‍-$60\mathrm{°}$‍-$90\mathrm{°}$‍-trekanten, hvor sidelængderne er i forholdet $1:\sqrt{3}:2$‍.

Vi kan blandt andet bruge disse særlige retvinklede trekanter til at hjælpe os med at finde længden af ukendte sider. Hvis vi for eksempel ved, at en trekant er en $45\mathrm{°}$‍-$45\mathrm{°}$‍-$90\mathrm{°}$‍-trekant og vi kender en af sidelængderne, så kan vi bruge forholdstallene til at finde de to andre sider. Hvis en af katetene er $5$‍ enheder lang, så er den anden katete også $5$‍ enheder lang, og hypotenusen er $5\sqrt{2}$‍ enheder lang.

Prøv det selv med i øvelse Særlige retvinklede trekanter.

Trigonometriske forhold er forholdstal, der sammenligner sidelængderne af en retvinklet trekant. Der er tre primære trigonometriske forholdstal: sinus, cosinus og tangens.

Vi beregner altid trigonometriske forholdstal set i ud fra en vinkel. I retvinklede trekanter bruger vi en af de spidse vinkler. Vinklens længste vinkelben kaldes "hypotenusen" og det ande kaldes den "hosliggende" katete. Trekantens sidste side (som ikke er et af vinklens vinkelben) er den "modstående" katete.

Sinus defineres som forholdet mellem den modstående katete i en retvinklet trekant og hypotenusen. Hvis vi har en retvinklet trekant med en modstående katete med længde $a$‍ og en hypotenuse med længde $c$‍, er sinus til vinklen defineret ved ${\displaystyle \frac{a}{c}}$‍.

Cosinus defineres som forholdet mellem den hosliggende katete i en retvinklet trekant og hypotenusen. Hvis vi har en retvinklet trekant med en hosliggende katete med længde $b$‍ og en hypotenuse med længde $c$‍, er cosinus til vinklen defineret ved ${\displaystyle \frac{b}{c}}$‍.

Tangens defineres som forholdet mellem den modstående katete i en retvinklet trekant og den hosliggende katete. Hvis vi har en retvinklet trekant med en modstående katete med længde $a$‍ og en hosliggende katete med længde $b$‍, er tangens til vinklen defineret ved ${\displaystyle \frac{a}{b}}$‍.

Vi forkorter sinus til "sin", cosinus til "cos" og tangens til "tan".

Hvis vi kender længden af siderne af en retvinklet trekant, kan vi bruge disse definitioner til at beregne de trigonometriske forhold.

Prøv selv i vores øvelse Trigonometriske forhold i retvinklede trekanter.

Først er vi nødt til at identificere, hvilket trigonometrisk forholdstal vi vil bruge. Husk, at de tre primære forholdstal er sinus, cosinus og tangens.

Hvis vi ønsker at finde længden af den modstående katete, og vi kender hypotenusen, kan vi bruge sinus. Hvis vi for eksempel ved, at $\sin (15\mathrm{°})\approx \mathrm{0,259}$‍, kan vi skrive følgende en ligning:

Hvis hypotenusen er angivet som $10$‍, kan vi finde den modstående katete:

Vi bruge den samme proces for hver af de tre forhold. Hvis vi kender to af de tre sidelængder og vinklen, vi kan bruge det tilhørende trigonometriske forhold til at finde den manglende sidelængde.

Du kan selv prøve i øvelsen Løs med hensyn til en ukendt side i retvinklede trekanter.

Vi bruger de trigonometriske forhold ved at opstille en ligning ved hjælp af de oplysninger, vi har. For eksempel, hvis vi kender længden af hypotenusen og længden af den modstående katete, kan vi bruge sinus til at finde en vinkel.

Lad os sige, at hypotenusen er $10$‍, og den modstående katete er $5$‍. Vi kan skrive følgende ligning ved hjælp af sinus:

For at finde vinklen $\theta$‍, kan vi bruge invers sinus på vores lommeregner.

Prøv selv i øvelsen Løs med hensyn til en ukendt vinkel i retvinklede trekanter.

Der er mange anvendelser for retvinklet trigonometri i den virkelige verden. For eksempel kan vi bruge de trigonometriske forhold til at løse opgaver med højde og afstand, såsom at bestemme højden af en bygning ved at måle skyggen den kaster. Vi kan også bruge trigonometri på områder som opmåling, konstruktion og teknik.

Det kan du selv prøve øvelsen Tekstopgaver med trigonometri i retvinklede trekanter.