If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Emne: (Videregående geometri > Emne 5

Modul 7: Løs med hensyn til en ukendt vinkel i retvinklede trekanter med trigonometri
Matematik
Videregående geometri
Trigonometri i retvinklede trekanter
Løs med hensyn til en ukendt vinkel i retvinklede trekanter med trigonometri
© 2024 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Introduktion til inverse trigonometriske funktioner

Google Classroom
Lær om de inverse trigonometriske funktioner arcsin, arccos og arctan (også kaldet arcus-funktioner), og hvordan vi bruger dem til at finde vinkler i retvinklede trekanter.
Lad os tage et kig på en ny type trigonometri opgaver. Sjovt nok kan disse opgaver ikke løses med sinus, cosinus eller tangens.
En opgave: I trekanten nedenfor, hvor stor er vinkel L?
En retvinklet trekant. Den korte katete er mærket 35. Den lange katete er mærket 65. Vinkel L er mærket med et spørgsmålstegn. Vinkel L er overfor den korte katete.
Det ved vi: I forhold til ∠L, kender vi længden af den modstående og hosliggende side, så vi kan skrive:
tan⁡(L)=modståendehosliggende=3565
Men dette hjælper os ikke med at finde ∠L. Vi sidder fast!
Hvad vi har brug for: Vi har brug for nye matematiske værktøjer til at løse opgaver som disse. Vores gamle venner sinus, cosinus og tangens duer ikke til opgaven. De tager en vinkel og giver et sideforhold, men vi har brug for funktioner, der tager sideforhold og giver vinkler. Vi har brug for inverse trigonometriske funktioner!

Inverse trigonometriske funktioner

Vi kender allerede til inverse regneoperationer. For eksempel er addition og subtraktion inverse regneoperationer. Ligeledes er multiplikation og division inverse regneoperationer. Hver regneoperation gør det modsatte af dens inverse.
Det er helt samme i trigonometri. Inverse trigonometriske funktioner gør det omvendte af de “almindelige” trigonometriske funktioner. For eksempel:
  • Invers sinus (sin−1) gør det modsatte af sinus.
  • Invers cosinus (cos−1) gør det modsatte af cosinus.
  • Invers tangens (tan−1) gør det modsatte af tangens.
Det gælder generelt, hvis du kender et trigonometrisk sideforhold, men ikke vinklen, så kan du bruge den inverse trigonometriske funktion til at bestemme vinklen. Det er udtrykt matematisk i udsagnene nedenfor.
Trigonometriske funktioner indsætter vinkler og giver sideforholdInverse trigonometriske funktioner indsætter sideforhold og giver vinkler
sin⁡(θ)=modståendehypotenuse→sin−1⁡(modståendehypotenuse)=θ
cos⁡(θ)=hosliggendehypotenuse→cos−1⁡(hosliggendehypotenuse)=θ
tan⁡(θ)=modståendehosliggende→tan−1⁡(modståendehosliggende)=θ

Typisk misforståelse!

Udtrykket sin−1⁡(x) er ikke det samme som 1sin⁡(x). Med andre ord −1 er ikke en eksponent. I stedet betyder det invers funktion.
FunktionGraf
sin⁡(x)
Et koordinatsystem. x aksen er mærket input grader og har markeringer for hver 5. Hver anden markering fra 0 til 80 er mærket. y aksen er mærket output et sideforhold og har markeringer for hver 0,1. Hver anden markering fra 0 til 2 er mærket. En graf mærket sinus til x er afbildet. Grafen starter i nul komma nul og går gennem 24 komma 0,4 og 40 komma 0,67 og 52 komma 0,8 og 90 komma 1. Alle værdier er tilnærmede.
sin−1⁡(x) (også kaldet arcsin⁡(x)) |
Et koordinatsystem. x aksen er mærket input et sideforhold og har markeringer for hver 0,1. Hver anden markering fra 0 til 2 er mærket. y aksen er mærket output grader og har markeringer for hver 5. Hver anden markering fra 0 til 80 er mærket. En graf mærket invers sinus til x er afbildet. Grafen starter i nul komma nul og går gennem 0,4 komma 24 og 0,67 komma 40 og 0,8 komma 52 og 1 komma 90. Alle værdier er tilnærmede.
1sin⁡x (også kaldet csc⁡(x)) |
Et koordinatsystem. x aksen er mærket input grader og har markeringer for hver 5. Hver anden markering fra 0 til 80 er mærket. y aksen er mærket output et sideforhold og har markeringer for hver 0,1. Hver anden markering fra 0 til 2 er mærket. En graf mærket 1 over sinus til x er afbildet. Grafen går gennem 30 komma 2 og 40 komma 1,55 og 50 komma 1,3 og 65 komma 1,1. Alle værdier er tilnærmede.
For at undgå misforståelser er der en alternativ notation. Vi kan også skrive den inverse sinus som arcsin, den inverse cosinus som arccos og den inverse tangens som arctan. Denne notation er almindelig indenfor computer programmering og mindre almindelig indenfor matematik.

Løsning af en opgave

I denne opgave skal vi bestemme et vinkelmål. Den modstående side og den hosliggende side i forhold til den ukendte vinkel er givet. Derfor kan vi bruge invers tangens til at udregne vinkelmålet.
En retvinklet trekant. Den korte katete er mærket 35. Den lange katete er mærket 65. Vinkel L er mærket med et spørgsmålstegn. Vinkel L er overfor den korte katete. Vinkel V ligger overfor den lange katete.
∠L=tan−1⁡( modstående  hosliggende)Definition∠L=tan−1⁡(3565)Indsæt værdier∠L≈28,30∘Udregn med lommeregner

Lav os prøve nogle øvelsesopgaver.

Opgave 1
Bestem ∠I i △KIP nedenfor.
Afrund dit svar til nærmeste hundrededel.
En retvinklet trekant K I P. Vinkel I er mærket med et spørgsmålstegn. Vinkel P er en ret vinkel. Siden K I er mærket 10. Siden K P er mærket 8.
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
∘

Opgave 2
Bestem ∠E i △DEF nedenfor.
Afrund dit svar til nærmeste hundrededel.
En retvinklet trekant D E F. Vinkel E er mærket med et spørgsmålstegn. Vinkel F er en ret vinkel. Siden E F er mærket 6. Siden D F er mærket 4.
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
∘

Opgave 3
Bestem ∠Y i △LYN nedenfor.
Afrund dit svar til nærmeste hundrededel.
En retvinklet trekant L Y N. Vinkel Y er mærket med et spørgsmålstegn. Vinkel L er en ret vinkel. Siden L Y er mærket 3. Siden N Y er mærket 10.
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
∘

Udfordrende opgave
Bestem alle ukendte sider og vinkler i trekanten nedenfor.
Afrund dine svar til nærmeste hundrededel.
En retvinklet trekant O Z E. Vinkel E er en ret vinkel. Siden Z E er mærket 4. Siden Z O er mærket 9.
OE=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
∠O=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
∘
∠Z=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
∘

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.