Cirklens ligning på udvidet form

Vi bliver bedt om at tegne cirklen og de giver os denne tossede ligning. Vi skal tegne den hernede. For at kunne afbilde en cirkel skal du vide, hvor dens centrum er og du skal kende dens radius. Vi skal altså omskrive ligningen til en form, der viser os centrum og radius. Lad mig hente min Scratchpad og se, om vi kan gøre det. Dette er den samme ligning. Det vi skal udføre er kvadratkomplettering for x-leddene og kvadratkomplettering for y-leddene, og dermed omskrive ligningen til en form vi genkender. Lad os først se på x-leddene. Vi har x² og 4x på den venstre side. Det kan jeg omskrive til x² + 4x. Jeg laver også nogle parenteser, som jeg skal bruge til kvadratkompletteringen. Så er der y-leddene. Jeg cirkler dem med blåt. y² og -4y. Vi har + (y² - 4y ). Og så har vi -17. --det laver jeg i en neutral farve-- -17 = 0. Nu vil jeg lave dette lilla udtryk om til kvadratet på en toleddet størrelse. Hvordan gøres det? Jeg tager det halve af dette 4-tal og tager kvadratet på det. Jeg tilføjer +4 og får (x² + 4x + 4), som nu kan skrive som (x + 2)² Du kan selv tjekke det. Hvis du vil have en gennemgang af kvadratkomplettering, så er der mange videoer om det på Khan Academy. Det vi gjorde var at tage kvadratet på det halve af denne koefficient, hvilket er 4. Det halve af 4 er 2 og kvadratet på 2 er 4. Det kommer fra første kvadratsætning, hvor (x+2)² er x² + 2² + 2⋅2⋅x. Men vi kan jo ikke bare lægge 4 til her. Vi har en ligning og hvis vi bare lægger 4 til, så er det ikke længere en ligning. Hvis det skal forblive en ligning, så skal vi også lægge 4 til på den højre side. Lad os nu gøre det samme for y'erne. Det halve af denne koefficient er -2. Kvadratet på -2 er +4. Det kan vi ikke kun gøre på den venstre side. Vi skal også lægge til på den højre side. Det vi har med blåt bliver nu til (y - 2)² og så naturligvis -17. Men lad os lægge 17 til på begge sider og fjerne -17 fra højre side. Lad os lægge 17 til på venstre og højre side. På venstre sider har vi nu de to udtryk. Og på højre side har vi 4 + 4 + 17. Det er 8 + 17, som er 25. Nu er det på en form vi genkender. Vi har det på formen (x - a)² + (y - b)² = r² så vi ved, at centrum er i punkt (a, b). Det punkt, der gør begge disse lig 0. Radius er lig r. Når vi kigger her, hvad er så a? Vi skal være forsigtige. a er ikke 2. a er -2. x-(-2) er lig x + 2 Så centrums x-koordinaten er -2. Og centrums y-koordinat er 2. Vi skal finde den x-værdi, der gør dette lig 0 og den y-værdi der gør dette lig 0. Centrum ligger i (-2, 2). 25 er r², så radius er 5. Lad os gå tilbage til øvelsen og tegne cirklen. Det er (-2, 2). Vores centrum ligger i (-2, 2). Det er lige her. x er -2 og y er 2. Og radius er 5. Lad os se, det bliver 1, 2, 3, 4, 5. Den skal være lidt større. Der er problemer med min pen. Sådan. 1, 2, 3, 4, 5. Lad os tjekke vores svar. Vi fik det rigtigt.