Cirklens ligning på standardform

Ligningen for cirkel C er (x + 3)² + (y - 4)² = 49. Hvad er dens centrum (h, k) og dens radius r? Lad os minde os selv om, hvad en cirkel er? Du har et punkt, lad os kalde det (h, k). Cirklen er det sæt af alle punkter der har samme afstand til det punkt. Lad os tage det sæt af alle punkter, som er r væk fra (h, k). Lad os sige, at denne afstand er r, så vi skal have det sæt af alle punkter, der ligger præcis r væk. Alle de punkter (x, y), der er præcis r væk. Du kan forestille dig, hvis du drejer dette punkt, så bliver alle punkter præcis r væk. Og jeg gør mit bedste for at tegne noget, der ligner en perfekt cirkel. Jeg kan ikke gøre det perfekt, men du kan se, hvad det er. Alle disse punkter er præcis r væk, hvis jeg havde tegnet dem ordentligt. De har afstanden r til centrum. Hvordan finder vi en ligning udtrykt med r og (h, k) og (x, y), der beskriver alle disse punkter? Vi ved, hvordan vi finder afstanden mellem to punkter i koordinatsystemet. Det udleder vi fra Pythagoras' sætning. Hvis vi tegner en lodret linje her, som svarer til ændringen på den lodrette akse mellem disse to punkter. Heroppe er vi ved y og hernede er vi ved k, så afstanden er y - k. Vi kan gøre præcis det samme på den vandrette akse. Denne x-koordinat er x, og denne x-koordinat er h. Denne afstand bliver x - h. Dette er en retvinklet trekant, da vi har en lodret afstand og en vandret afstand. Disse to er derfor vinkelrette på hinanden. Fra Pythagoras' sætning ved vi, at kvadratet af den her plus kvadratet af denne her er lig kvadrat af denne afstand. Afstandsformlen udledes af dette. Vi ved, at (x - h)² + (y - k)² = r². Alle (x, y), der opfylder denne ligning, vil ligge på denne cirkel. Nu da det er slået fast, lad os svare på spørgsmålet. Dette er cirklens ligning. Den ligner temmelig meget det vi lige har skrevet. Vi må dog ikke blive forvirret af de negative fortegn. Husk den skal være på formen (x - h)² + (y - k)². Lad os omkrive den lidt. I stedet for (x + 3)² kan vi skrive (x - (-3))² -- her har vi allerede den rigtige form -- + (y - 4)² = og i stedet for 49, kan vi skrive 7². Nu er det temmelig tydeligt, at vores h er -3, k er +4 og r er 7. Vi kan sige at, (h, k) er (-3, 4). Du tænker måske, der står -4. Men se, -k og -4, så k er 4, og det er også -h. Du tror måske, at h er +3, men du trækker h fra. Du siger - (-3). Radius er 7.