Skaleringer og egenskaber

I denne video skal vi se på, hvilke egenskaber ved en figur, der bevares og eller ikke, når vi laver skaleringer. Her har vi en firkant og vi skal lave en skalering med centrum i punkt P. Jeg bruger denne skalerings widget. Det første spørgsmål er, om koordinaterne af disse hjørner bevares? Sæt videoen på pause og tænk over det. Lad os prøve os frem. Vi kan lave en skalering og se, at koordinaterne ikke bevares. Det punkt, der svarer til D, har nu andre koordinater. Det hjørne, der svarer til A, har nu andre koordinater. Det samme gælder for B og C. Efter skaleringen er de tilsvarende punkter et andet sted i koordinatsystemet. I dette tilfælde er hjørnernes koordinater ikke bevaret. Det næste spørgsmål, -- jeg går lige tilbage -- er om de tilsvarende linjestykker efter skaleringen ligger på den samme linje? Lad mig igen skalere, og du kan se, at linjestykke B'C' ikke ligger på den samme linje som BC. Men linjestykke A'D' som er tilsvarende til linjestykke AD ligger på den samme linje. Hvorfor er det nu sådan? Hvis vi tegner en linje, der ligger oven i linjestykke AD, så går den gennem punkt P. Når vi skalerer, så vil dette linjestykke flytte sig udad langs den samme linje. Det er ikke sandt for de andre linjestykker da punkt P ikke ligger på de linjer, som disse linjestykke ligger på. Lad os skalere igen, så du kan se det. Det næste spørgsmål er om vinkelmål bevares? Det ser det ud til, at de er. Det er en af de ting, der altid gælder for skaleringer. De bevarer vinkelmål. Denne vinkel er stadig en ret vinkel. Vinkel B har samme størrelse som vinkel B'. Det gælder for alle disse vinkler. Det sidste spørgsmål er, om sidelængder, omkreds og areal bevares? Vi kan med det samme se, når vi forstørrer, så vil det linjestykke, der svarer til AD, blive længere. Faktisk vil alle linjestykker blive længere. Når de bliver længere, så vil omkredsen blive større og arealet vil blive større. På samme måde når vi formindsker, så vil de alle blive mindre. Sidelængder, omkreds og areal er ikke bevaret. Lad os stille samme spørgsmål om en anden skalering og det bliver spændende, da vi skal se på en skalering med centrum i et af figurens hjørner. Lad mig lige gå her ned. Jeg bruger samme widget. Nu har vi trekant ABC som vi skal skalere med centrum i punkt C. Lad os først så på hjørnernes koordinater. Bevares de? Lad os forstørre. Vi kan se, at punkt C bevares. Efter skaleringen ligger det præcis samme sted, men de punkter, der svarer til A og B er ikke bevaret. Du kan kalde det A' og det har helt sikkert andre koordinater end A. Og B' har helt sikkert andre koordinater end B. Hvad med de tilsvarende linjestykker? Ligger de på samme linje? Nogle af dem gør og nogle af dem gør ikke. Lad os se på linjestykke AC og BC. Når vi skalerer, kan vi se, at de tilsvarende linjestykker A'C' eller B'C' ligger på den samme linje. Det gør de, fordi centrum for skaleringen, Punkt C er en del af disse linjestykker. Vi flytter egentlig blot det punkt på linjestykket, der ikke er centrum for skaleringen. Ved en forstørrelse bliver det længere væk og ved en formindskelse kommer det tættere på, langs den samme linje. Men andre linjestykker bliver ikke på samme linje. For eksempel ligger A'B' ikke på samme linje som AB. Hvad med vinkelmål? Det har vi allerede snakket om. Vinkelmål bevares ved skaleringer. Størrelsen af vinkel C er præcis den samme som denne vinkel. Det gælder også for størrelsen af vinkel A' og B' Til sidst, hvad med sidelængder? Vi kan tydeligt se, når jeg forstørrer, så bliver sidelængderne større. Når jeg formindsker, så bliver sidelængderne mindre. Så sidelængder er ikke bevaret og hvis sidelængder ikke er bevaret, så er omkreds heller ikke bevaret og arealet er heller ikke bevaret. Du kan se areal, som en funktion af sidelængde. Når vi forstørre, så vokser omkredsen og det gør arealet også. Når vi formindsker som her, så bliver omkredsen mindre og det før arealet også.