Egenskaber og beviser for transformationer

Vi bruger ofte stive transformationer og skaleringer i geometriske beviser, fordi de bevarer visse egenskaber. Stive transformationer - som parallelforskydinger, drejninger og spejlinger - bevarer længden af linjestykker, vinkelmål og arealer af figurer. Derimod vil skaleringer ændre størrelsen af en figur, men bevare vinkelmål samt forholdet mellem forskellige dele af figuren.

Nogle transformationer bevarer endnu flere egenskaber. For eksempel, når vi parallelforskyder eller skalerer en figur, vil dele der var parallelle før transformationen stadig være det bagefter. Når vi bruger stive transformationer og skaleringer i geometriske beviser, kan vi være sikre på, at visse egenskaber vil forblive de samme, selv når figurerne flyttes eller skaleres.

Prøv selv i vores øvelse Beviser med transformationer.

Et modeksempel er et specifikt eksempel (normalt et matematisk eksempel), der viser, at et udsagn eller regel ikke er korrekt. Modeksempler bruges ofte til at forbedre definitioner, da de viser, hvor definitionerne er forkerte, men kan også hjælpe os med at forbedre dem ved at gøre dem mere præcise.

For eksempel, hvis vi definerer en drejning af en geometrisk figur som en transformation, der drejer hvert punkt i figuren det samme antal grader omkring et omdrejningspunkt, så kan vi forsøge at komme med et modeksempel, der viser, at denne definition ikke er helt rigtig. I dette eksempel vil et modeksempel kunne vise at definitionen tillader at nogle punkter drejer én vej og andre den anden vej.

Så, ved hjælp af dette modeksempel, vi kan forbedre vores definition, så den siger, at en drejning er en transformation af en geometrisk figur, der drejer hvert punkt i figuren det samme antal grader og i samme retning omkring et omdrejningspunkt.

Modeksempler er et nyttigt værktøj i matematik, som kan hjælpe os med at lave bedre, mere præcise definitioner.

Prøv selv i øvelsen Definition af transformationer.

En figur er symmetrisk, hvis den ikke er ændret efter en transformation. En figur har drejningssymmetri, hvis den er flyttet over i sig selv efter en drejning på under $360$360 grader. Det har spejlingssymmetri, hvis den er flyttet over i sig selv efter en spejling.

Kan en figur have en form symmetri, men ikke en anden? Absolut! For eksempel har et ligebenet trapez spejlingssymmetri, men det har ikke drejningssymmetri. Hvorimod et parallelogram, der ikke er en rombe, har drejningssymmetri efter en drejning på $180\degree$180, degree omkring dets midtpunkt, men det har ikke spejlingssymmetri.

Prøv selv i øvelserne Spejlingssymmetri i 2D-figurer og Drejningssymmetri i 2D-figurer.

Vi kan definere transformationer mere præcist ved at bruge matematisk notation.

For en parallelforskydning angiver vi den forskydningsvektor, der beskriver bevægelsens retning og længde. For eksempel kan vi skrive $T_{\langle 5{,}2 \rangle}$T, start subscript, open angle, 5, comma, 2, close angle, end subscript for at beskrive en parallelforskydning på $5$5 enheder til højre og $2$2 enheder op. Vi kan også beskrive parallelforskydningen således:

For en spejling, angiver vi spejlingsaksen. For eksempel kan vi beskrive en spejling over $y$y-aksen som $r_{y-\text{akse}}$r, start subscript, y, minus, start text, a, k, s, e, end text, end subscript. Vi kan også beskrive den samme spejling ved at bruge ligningen for spejlingsaksen og skrive $r_{x=0}$r, start subscript, x, equals, 0, end subscript. Ved denne spejling forbliver $y$y-koordinaten den samme, men $x$x-koordinaten får modsat fortegn:

For en drejning angiver vi omdrejningspunktet, vinklen og retningen. For eksempel kan vi beskrive en drejning på $90\degree$90, degree med uret omkring origo som $R_{(0,0), -90\degree}$R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degree, end subscript. Vi bruger positive værdier for vinklen, når drejningen er mod urets retning og negative værdier for vinklen, når drejningen er med urets retning. Drejninger omkring origo i multipla af $90\degree$90, degree følger specielle mønstre:

Drejninger med andre vinkler involverer trigonometri, så dem vil vi gemme til et senere kursus.