Hovedindhold

Emne: (Bliv klar til Infinitesimalregning > Emne 4

Modul 1: Tilsvarende ligningssystemer med lige store koefficienters metode

Gennemgang af lige store koefficienters metode (ligningssystemer)

Lige store koefficienters metode er en teknik til at løse ligningssystemer. Denne artikel gennemgår metoden med eksempler og giver dig mulighed for at prøve nogle opgaver selv.

Hvad er lige store koefficienters metode?

Lige store koefficienters metode er en måde at løse to ligninger med to ubekendte ved at eliminere en af variablene, så vi kun har én ligning med én ubekendt. Lad os kigge på et par eksempler.

Eksempel 1

Vi bliver bedt om at løse dette ligningssystem:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 5 y - 7 x & = 12 \end{aligned}

Vi bemærker, at den første ligning har et

7 x

-led, og den anden ligning har et

- 7 x

-led. Disse led ophæver hinanden, hvis vi lægger ligningerne sammen — vi eliminerer altså

x

-leddene:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ + 5 y - 7 x & = 12 \\ 7 y + 0 & = 7 \end{aligned}

Isolerer vi

y

, får vi:

\begin{aligned} 7 y + 0 & = 7 \\ 7 y & = 7 \\ y & = 1 \end{aligned}

Denne værdi for y kan vi nu indsætte i den anden ligning for at finde den anden variabel, x:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 2 \cdot 1 + 7 x & = - 5 \\ 2 + 7 x & = - 5 \\ 7 x & = - 7 \\ x & = - 1 \end{aligned}

Løsningen til ligningssystemet er

x = - 1

y = 1

Vi kan tjekke vores løsninger ved at indsætte disse værdier tilbage i den oprindelige ligning. Lad os kigge på den anden ligning:

\begin{aligned} 5 y - 7 x & = 12 \\ 5 \cdot 1 - 7 (- 1) & \overset{?}{=} 12 \\ 5 + 7 & = 12 \end{aligned}

Ja! Løsningerne passer.

Hvis du ikke er helt sikker på, hvorfor denne metode fungerer, så tjek denne introduktionsvideo for en dybdegående forklaring.

Eksempel 2

Vi bliver bedt om at løse dette ligningssystem:

\begin{aligned} - 9 y + 4 x - 20 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

Vi kan gange den første ligning med

- 4

for at få en ækvivalent ligning, der har et

- 16 x

-led. Vores nye (men ækvivalente!) ligningssystem ser nu sådan her ud:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

Hvis vi lægger ligningerne sammen for at eliminere

x

-leddene, får vi:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ + - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \\ 29 y + 0 - 0 & = 0 \end{aligned}

Isolerer vi

y

, får vi:

\begin{aligned} 29 y + 0 - 0 & = 0 \\ 29 y & = 0 \\ y & = 0 \end{aligned}

Denne værdi for y kan vi nu indsætte i den anden ligning for at finde den anden variabel, x:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ 36 \cdot 0 - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x & = - 80 \\ x & = 5 \end{aligned}

Løsningen til ligningssystemet er

x = 5

y = 0

Ønsker du at se et andet eksempel på løsning af en udfordrende opgave med lige store koefficienters metode? Tjek denne video.

Øvelsesopgaver

Opgave 1

Løs det følgende ligningssystem.

\begin{aligned} 3 x + 8 y & = 15 \\ 2 x - 8 y & = 10 \end{aligned}

x =

y =

Vil du løse flere opgaver af denne slags? Tjek disse øvelser:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.