If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold
Aktuel tid:0:00Samlet varighed:16:14

Video udskrift

Vi så i sidste video at ortonormale baser er brugbare for koordinatsystemer. Koordinatsystemer hvor det er let at finde frem til koordinaterne. Det var hvad vi lavede i sidste video. Lad os se om der er andre brugbare grunde til at bruge ortonormale baser. Vi ved allerede, lad os sige jeg har et underrum V. Lad os sige at V er et underrum af Rn. Og lad os sige vi har B, som er en ortonormal basis. B er lig v1, v2, hele vejen til vk. Og det er en ortonormal basis for V, hvilket bare er en smart måde at sige at alle disse vektorer har en længde på 1, og de er alle ortogonale på hinanden. Vi har set mange gange før, at hvis jeg jeg har bare et medlem af Rn -- Lad os sige at jeg har en vektor x som er et medlem af Rn, så kan x være repræsenteret som en sum af et medlem af V, som er i vores underrum, og en vektor w, som er i det ortogonale komplement af vores underrum. Lad mig skrive det ned. Hvor V er et medlem af mit underrum, og w er et medlem af mit underrums ortogonale komplement. Vi så dette, da jeg lavede et helt sæt af videoer om ortogonale komplementer. Hvad er denne ting lige her? Hvad er denne ting lige her? Per definition, er det projektionen af x på V. Det er altså projektionen af x på V's ortogonale komplement. Og vi ved fra fortiden at dette ikke er en let ting at finde. Lad os sige at jeg havde en matrix A, som har mine basis vektorer som søjler -- Så hvis jeg sætter A op på denne måde, v1, v2, hele vejen til vk, lærte vi før at hvis vi ville finde ud af, og have en generel måde at finde ud af hvad projektionen er, lærte vi at projektionen af en vektor x på V er A gange A transponeret A invers gange A, gange x. Og det var besværligt at finde ud af. Det var besværligt at finde ud af. Men lad os se om antagelsen om, at disse fyre er ortonormale, eller at dette er et ortonormalt sæt, på nogen måde simplificerer dette. Det første vi kan gøre at at udforske dette en smule. Denne vektor V, som er et medlem af vores underrum, som betyder at det kunne være repræsenteret som en lineær kombination af mine basis vektorer. Så jeg kan skrive x er lig, i stedet for V, kan jeg skrive c1 gange v1, plus c2 gange v2 hele vejen til plus ck gange vk. Det er den samme ting som et tilfældigt, eller et unikt, medlem af mit underrum V. Så det er V lige der, og du kan også se dette som projektionen af x på underrummet V. Så x kan være repræsenteret som et medlem af V, og så et medlem af V's ortogonale komplement, plus w her. Hvad sker der nu hvis vi tager begge sider af denne ligning, hvis vi prikker den med en af disse fyre, lad os sige, vi? Lad os prikke begge sider af ligningen med vi. Så hvis jeg tager vi prikket med x, eller vi fra den i'te basis heroppe fra mit underrum B, hvad får jeg så?