Span og lineær uafhængighed eksempel

Jeg vil gerne samle alt det, vi har lært om lineær uafhængighed og afhængighed, og om hvad en mængde af vektorer frembringer, i ét særlig kompliceret problem, for hvis du forstår hvad dette problem drejer sig om, tror jeg, at du forstår hvad det er, vi laver, og disse emner er nøglen til din forståelse af lineær algebra. Det første jeg vil spørge om er: hvis vi har en mængde S af tre-dimensionale vektorer -- de har tre komponenter -- vil vektorerne i S frembringe hele R³? Det kunne godt se sådan ud. Hvis hver af disse vektorer tilføjer noget nyt, kunne jeg måske beskrive enhver vektor i R³ som en kombination af disse tre vektorer? Og det andet spørgsmål, jeg vil stille, er om vektorerne er lineært uafhængige? Måske kan jeg svare på begge spørgsmål på én gang. Lad os se på det første spørgsmål: Frembringer vektorerne R³? Det vil altså sige : "kan man, med en linearkombination af disse tre vektorer, konstruere enhver vektor i R³? Lad mig vise hvad jeg mener med en linearkombination af disse vektorer: Det kunne være en konstant, c-ét gange den første vektor, (1, -1, 2) plus en eller anden anden konstant, en skalar, c-to, gange den anden vektor, (2, 1, 2), plus en tredje konstant (skalar), c-tre gange den tredje vektor, (1, 0, 2). Jeg skulle altså kunne vælge nogle c'er, c-et, c-to og c-tre, så kombinationen her kunne blive en hvilken som helst vektor i R³. Og jeg vil repræsentere en vektor i R³ med vektoren (a, b, c), hvor a, b og c er reelle tal. Så hvis du kommer med et a, et b og et c, skal jeg kunne sige, hvilket c-tre, hvilket c-to og hvilket c-ét, der får ligningen til at passe, hvis vektorerne frembringer R³, altså hvis du giver mig en vektor i R³, kan jeg altid konstruere den ud fra de tre oprindelige vektorer. Lad os se om jeg kan det!