Hvad er en funktion?

En funktion er -- meget abstrakt sagt -- noget man putter et input i, den tygger på det, den gør noget ved inputværdien. Alt efter hvad inputtet er, vil den lave et output. Kan vi se et eksempel på en funktion? Vi kan have funktionen f af x. x er inputværdien. f er det mest almindelige navn for en funktion. Man kan bruge andre. Vi kan sige, at f af x er lig med x², hvis x er et lige tal. f af x er lig med x plus 5, hvis x er et ulige tal. Hvad sker der, hvis vi indsætter 2 i funktionen? Vi skriver, at vi indsætter 2 i funktionen ved at skrive f af 2. Det er funktionsværdien af 2. Alle steder vi ser et x, skal vi indsætte 2 i stedet. Hvis 2 er lige, er det 2². Hvis 2 er ulige, er det 2 plus 5. 2 er lige, så det er 2². Det er 4. f af 2 er lig med 4. Hvad er f af 3? Igen indsætter vi 3 alle steder, vi ser et x. Er 3 lige eller ulige? 3 er ulige, så det er 3 plus 5, som er 8. f af 3 er lig med 8. Det er fint nok. Det er en interessant måde at se på en funktion på. Det kunne vi dog også have gjort med almindelige ligninger. Hvad kan en funktion, som en helt almindelig ligning ikke kan? Vi kan lave sådan en funktion her. Lad os droppe f og x. Vi kan bruge alle bogstaver. h af a er lig med det næste større tal, der starter med samme bogstav som variablen a. Vi bruger her engelsk. Hvad er h af 2? 2 starter med T. Hvad er det næste større tal, der starter med T? Det er 3. Hvad er h af 8? 8 starter med E på engelsk. Hvad er det næste tal, der starter med E? Det er 11. Vi kan altså bruge funktioner på alle mulige mærkelige måder. Her i h funktionen, så vi på startbogstavet i engelske tal. Det er lidt skørt, de fleste funktioner er ikke så skøre. Faktisk har vi allerede arbejdet med funktioner. Vi har set ting som y er lig med x plus 1. Det kan betragtes som en funktion. Vi kan skrive y som en funktion af x. f af x er lig med x plus 1. Vi kan sige, at når inputtet, x er lig med 0. Vi indsætter 0. Vi lægger 1 til. Det er lig med 1. f af 2 er lig med 3. Vi har allerede prøvet det før. Vi kan lave en tabel med x og indsætte y'erne her. Når x er 0, er y 1. Når x er 2, er y 3. Vi har lavet tabeller før med x og y. Når x er 0, er y 1. Når x er 2, er y 3. Hvad er så pointen med at skrive det som funktionen f af x er x plus 1. Pointen er at skrive det mere generelt. I det her tilfælde behøver man nok ikke en funktion. Da det er tydeligt, at funktionen tager x og tygger på det. Den siger okay, x plus 1. Funktionsværdien er 1 mere end inputtet. Uanset inputtet, så er outputtet altså 1 mere. Fint nok. Hvad er en funktion IKKE? Vi skal huske, at en funktion tager et input og giver kun ét enkelt output. Lad os prøve at visualisere en sammenhæng. Her er y-aksen, og her er x-aksen. Lad os tegne en cirkel med radius 2. Her er minus 2. Her er plus 2. Her er minus 2. Cirklen har centrum i origo og en radius på 2. Den ser nogenlunde sådan ud. Her er cirklen så. Cirklens ligning er x² plus y² er lig med radius², altså 4. Denne sammenhæng mellem x og y, som ligningen opfylder og som vi ser, er det en funktion? Vi kan se, at det ikke er en funktion. Vi vælger et x. Lad os sige, at x er 1. Der er 2 y-værdier, der passer til den x-værdi. Det her y og det her y. Vi kan finde dem ved at indsætte 1 i ligningen. 1² plus y² er lig med 4. 1 plus y² er lig med 4. Vi trækker 1 fra begge sider. y² er lig med 3. y er lig med den positive eller negative kvadratrod af 3. Det her er den positive kvadratrod, og det her er den negative kvadratrod. Vi indsatte 1 i ligningen, men vi fik 2 y-værdier ud. Vi fik 2 kvadratrødder. Det er ikke en funktion. Vi kan ikke have 2 output værdier. Der må kun være et output for hvert input.