Hovedindhold

Emne: (Opvarmning til algebra > Emne 15

Modul 3: Løs ligningssystemer med substitutionsmetoden

Ligningssystemer med substitutionsmetoden

Google Classroom

Eksempel, hvor vi løser et ligningssystem med substitutionsmetoden.

Lad os prøve at løse følgende ligningssystem:

$y = 2 x Ligning 1$ ‍

$x + y = 24 Ligning 2$ ‍

Udfordringen ligger i, at der er to variable,

x

y

. Hvis bare vi kunne skille os af med en af variablene...

Her er et forslag! Ligning

1

fortæller os, at

2 x

y

er lig med hinanden. Så lad os indsætte

2 x

i stedet for

y

i Ligning

2

for at skille os af med variablen

y

i den ligning:

$\begin{aligned} x + y & = 24 & Ligning 2 \\ x + 2 x & = 24 & Indsæt 2x i stedet for y \end{aligned}$ ‍

Genialt! Nu har vi en ligning, hvor den eneste ubekendte variabel er

x

, som vi nemt kan løse:

$\begin{aligned} x + 2 x & = 24 \\ 3 x & = 24 \\ \frac{3 x}{3} & = \frac{24}{3} & Divider begge sider med 3 \\ x & = 8 \end{aligned}$ ‍

Fedt! Nu ved vi, at

x

er lig med

8

. Men husk på, at vi leder efter et ordnet talpar, så vi skal også bestemme værdien af

y

. Lad os bruge den første ligning til at bestemme værdien af

y

, når

x

er lig med

8

$\begin{aligned} y & = 2 x & Ligning 1 \\ y & = 2 (8) & Indsæt 8 i stedet for x \\ y & = 16 \end{aligned}$ ‍

Sådan! Nu ved vi, at løsningen til ligningssystemet er

(8, 16)

. Det er altid en god idé at indsætte værdierne tilbage i de oprindelige ligninger for at tjekke, om det er rigtigt.

Lad os tjekke den første ligning:

$\begin{aligned} y & = 2 x \\ 16 & \overset{?}{=} 2 (8) & Indsæt x = 8 og y = 16 \\ 16 & = 16 & Ja! \end{aligned}$ ‍

Lad os tjekke den anden ligning:

$\begin{aligned} x + y & = 24 \\ 8 + 16 & \overset{?}{=} 24 & Indsæt x = 8 og y = 16 \\ 24 & = 24 & Ja! \end{aligned}$ ‍

Super!

(8, 16)

er derfor en løsning til lignignssystemet. Vi har ikke lavet fejl.

Nu er det din tur til at løse et ligningssystem med substitutionsmetoden.

Brug substitutionsmetoden til at løse nedenstående ligningssystem.

$4 x + y = 28$ ‍

$y = 3 x$ ‍

x =

y =

Isoler først en af variablene og brug derefter substitution

Nogle gange kræver substitutionsmetoden lidt mere arbejde. Her er et andet ligningssystem:

$- 3 x + y = - 9 Ligning 1$ ‍

$5 x + 4 y = 32 Ligning 2$ ‍

Læg mærke til, at i ingen af ligningerne er

x

eller

y

allerede isoleret. Derfor skal vi isolere enten

x

eller

y

først i en af ligningerne. Det gør vi sådan her:

Trin 1: Isoler en af variablene i en af ligningerne.

Lad os isolere $y$ ‍ i den første ligning:

$\begin{aligned} - 3 x + y & = - 9 & Ligning 1 \\ - 3 x + y + 3 x & = - 9 + 3 x & Læg 3x til på begge sider \\ y & = - 9 + 3 x \end{aligned}$ ‍

Trin 2: Indsæt den værdi i den anden ligning og løs for $x$ ‍.

$\begin{aligned} 5 x + 4 y & = 32 & Ligning 2 \\ 5 x + 4 (- 9 + 3 x) & = 32 & Indsæt -9 + 3x i stedet for y \\ 5 x - 36 + 12 x & = 32 \\ 17 x - 36 & = 32 \\ 17 x & = 68 \\ x & = 4 & Divider begge sider med 17 \end{aligned}$ ‍

Trin 3: Indsæt $x = 4$ ‍ i en af de to oprindelige ligninger og løs for $y$ ‍.

$\begin{aligned} - 3 x + y & = - 9 & Ligning 1 \\ - 3 (4) + y & = - 9 & Indsæt 4 i stedet for x \\ - 12 + y & = - 9 \\ y & = 3 & Læg 12 til på begge sider \end{aligned}$ ‍

Så vores løsning er

(4, 3)

Lad os øve os!

1) Brug substitutionsmetoden til at løse nedenstående ligningssystem.

$2 x - 3 y = - 5$ ‍

$y = x - 1$ ‍

x =

y =

2) Brug substitutionsmetoden til at løse nedenstående ligningssystem.

$- 7 x - 2 y = - 13$ ‍

$x - 2 y = 11$ ‍

x =

y =

3) Brug substitutionsmetoden til at løse nedenstående ligningssystem.

$- 3 x - 4 y = 2$ ‍

$- 5 = 5 x + 5 y$ ‍

x =

y =

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.