If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Emne: (Opvarmning til algebra > Emne 15

Modul 2: Grafisk løsning af ligningssystemer
Matematik
Opvarmning til algebra
Ligningssystemer
Grafisk løsning af ligningssystemer
© 2024 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Grafisk løsning af ligningssystemer

Google Classroom
Eksempel, hvor vi finder løsningen til et ligningssystem grafisk ved at finde linjernes skæringspunkt.
Vi kan løse et ligningssystem grafisk ved at afbilde ligningerne i et koordinatsystem. Lad os prøve at gøre det med de to følgende ligninger:
y=12x+3
y=x+1
Lad os starte med at afbilde ligningen y=12x+3. Bemærk, at y allerede er isoleret i ligningen og derfor er på formen y = ax + b, så vi kan aflæse, at skæringen med y-aksen er i 3, og så skal vi gå 1 op og 2 til højre der fra.
Et koordinatsystem er vist. Begge akser er mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. Grafen for ligningen y er lig 1 halv x plus 3 er afbildet. Skæring med y aksen i 0 komma 3 er vist. Punktet 2 komma 4 på grafen er også vist.
Nu mangler vi bare at afbilde den anden ligning y=x+1.
Et koordinatsystem er vist. Begge akser er mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. Grafen for ligningen y er lig 1 halv x plus 3 er afbildet. Den går gennem punkterne 0 komma 3 og 2 komma 4. Grafen for ligningen y er lig x plus 1 er afbildet. Den går gennem punkterne 0 komma 1 og 1 komma 2. Begge disse punkter er fremhævet. De to linjer skærer hinanden i 4 komma 5.
Linjerne skærer hinanden i præcis ét punkt. Det er løsningen til ligningssystemet.
Et koordinatsystem er vist. Begge akser er mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. Grafen for ligningen y er lig 1 halv x plus 3 er afbildet. Den går gennem punkterne 0 komma 3 og 2 komma 4. Grafen for ligningen y er lig x plus 1 er afbildet. Den går gennem punkterne 0 komma 1 og 1 komma 2. De to linjer skærer hinanden i 4 komma 5. Dette punkt er mærket.
Det giver god mening, da alle punkter på den orange linje er løsninger til ligningen y=12x+3, og alle punkter på den grønne linje er løsninger til ligningen y=x+1. Det eneste punkt, der er en løsning til begge ligninger, er deres skæringspunkt.

Tjekker løsningen

Ud fra grafen kan vi altså aflæse, at det ordnede talpar (4,5) er løsningen til ligningssystemet. Lad os tjekke efter ved at indsætte x=4 og y=5 i begge ligninger.
Den første ligning:
y=12x+35=?12(4)+3Indsæt x = 4 og y = 55=5Ja!
Den anden ligning:
y=x+15=?4+1Indsæt x = 4 og y = 55=5Ja!
Sådan! (4,5) er faktisk en løsning.

Lad os øve os!

Opgave 1

Følgende ligningssystem er afbildet i koordinatsystemet nedenfor.
y=−3x−7
y=x+9
Et koordinatsystem er vist. Begge akser er mærkede markeringer for hver 1 fra minus 9 til 9. Grafen for ligningen y er lig minus 3 x minus 7 er afbildet. Den går gennem punkterne minus 5 komma 8, minus 1 komma minus 4 og 0 komma minus 7. Grafen for ligningen y er lig x plus 9 er afbildet. Den går gennem punkterne minus 9 komma 0, 1 komma 8 og 0 komma 9. De to linjer skærer hinanden i minus 4 komma 5.
Find det ordnede talpar, der er en løsning til ligningssystemet.
x=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
y=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Opgave 2

Her er et ligningssystem:
y=5x+2
y=−x+8
Afbild begge ligninger.
Find det ordnede talpar, der er en løsning til ligningssystemet.
x=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
y=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Opgave 3

Her er et ligningssystem:
8x−4y=16
8x+4y=16
Afbild begge ligninger.
Find det ordnede talpar, der er en løsning til ligningssystemet.
x=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
y=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Udfordrende opgaver

1) Hvor mange løsninger har ligningssystemet, der er afbildet nedenfor?
Vælg 1 svar:
Et koordinatsystem er vist. Begge akser er mærkede markeringer for hver 2 fra minus 8 til 8. To rette linjer er afbildet. Den ene går gennem punkterne minus 6 komma 8, minus 1 komma 0 og 0 komma minus 1. Den anden går gennem punkterne minus 3 komma 0, 0 komma 3 og 3 komma 6. De to linjer skærer hinanden i omkring minus 1 komma 1.

2) Hvor mange løsninger har ligningssystemet, der er afbildet nedenfor?
(De to linjer er parallelle, så de skærer aldrig hinanden)
Vælg 1 svar:
Et koordinatsystem er vist. Begge akser er mærkede markeringer for hver 2 fra minus 8 til 8. To rette linjer er afbildet. Den ene går gennem punkterne minus 6 komma minus 7, minus 1 komma 3 og 0 komma 5. Den anden går gennem punkterne 0 komma minus 1, 2 komma 3 og 4 komma 7. De to linjer er parallelle.

3) Hvor mange løsninger har ligningssystemet, der er afbildet nedenfor?
(De to linjer er præcis den samme. De ligger oveni hinanden, så der er uendelig mange skæringspunkter)
Vælg 1 svar:
Et koordinatsystem er vist. Begge akser er mærkede markeringer for hver 2 fra minus 8 til 8. To rette linjer er afbildet oveni hinanden. De går begge gennem punkterne minus 6 komma 0, 0 komma 2 og 6 komma 4.

4) Er det muligt for et lineært ligningssystem at have præcis to løsninger (to skæringspunkter)?
Hint: Tænk på graferne for ovenstående ligningssystem.
Vælg 1 svar:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.