Hovedindhold

Opvarmning til algebra

Emne: (Opvarmning til algebra > Emne 13

Modul 5: Introduktion til linjens ligning på formen y = ax + b

Introduktion til linjens ligning på formen y = ax + b

Lær om linjens ligning på formen y = ax + b, og hvordan man skal fortolke den for at finde hældningen og skæringen med y-aksen.

Hvad du bør have styr på, inden du går igang med dette modul

Du bør vide hvad en to-variabel lineær ligning er. Specielt bør du vide, at grafen for den slags ligninger er en ret linje. Hvis dette er nyt for dig, så tjek vores introduktion til to-variabel ligninger.
Du bør også være bekendt med følgende egenskaber for rette linjers ligning: skæring med $y$ ‍-akse og $x$ ‍-akse og hældning.

Hvad du kan lære i dette modul

Hvad er linjens ligning på formen y = ax + b
Hvordan man finder en linjes hældning og skæring med $y$ ‍-aksen ud fra dens ligning
Hvordan man skriver ligningen for en linje ud fra dens hældning og skæring med $y$ ‍-aksen

Hvad er linjens ligning?

Linjens ligning kan skrives på et par måder, men den mest brugte ser sådan her ud...er du klar?

y = a x + b

Både

a

b

kan være hvilke som helst to reelle tal. Her er er par eksempler på linjers ligninger på denne form:

$y = 2 x + 1$ ‍
$y = - 3 x + 2, 7$ ‍
$y = 10 - 100 x$ ‍
[Men i denne ligning er x i det sidste led!]

Disse ligninger er til gengæld ikke på den form:

$2 x + 3 y = 5$ ‍
$y - 3 = 2 (x - 1)$ ‍
$x = 4 y - 7$ ‍

Formen y = ax + b er som sagt nok den mest anvendte form en linjes ligning. Lad os kigge lidt nærmere på, hvorfor det er tilfældet.

Værdierne i ligningen på formen y = ax + b

Udover at være pæn at se på er linjens ligning på denne form også en kæmpe fordel i forhold til at se to meget vigtige oplysninger om linjen:

Linjens hældning er $a$ ‍.
$y$ ‍-koordinaten for linjens skæring med $y$ ‍-aksen er $b$ ‍. Med andre ord skærer linjen $y$ ‍-aksen i punktet $(0, b)$ ‍.

For eksempel, linjen

y = 2 x + 1

har en hældning på

2

, og dens skæring med

y

-aksen er

(0, 1)

Det faktum, at denne form giver både linjens hældning og dens skæring med

y

-aksen er grunden til, at den er blevet standardformen!

Tjek din forståelse

Opgave 1

Hvad er hældningen for linjen med ligningen $y = 5 x - 7$ ‍?

Opgave 2

Hvad er hældningen for linjen med ligningen $y = x + 9$ ‍?

Opgave 3

Hvad er skæringen med $y$ ‍-aksen for linjen $y = - 6 x - 11$ ‍?

Opgave 4

Hvad er skæringen med $y$ ‍-aksen for linjen $y = 4 x$ ‍?

Opgave 5

Hvad er hældningen for linjen med ligningen $y = 1 - 8 x$ ‍?

Opgave 6

Hvilke linjer skærer $y$ ‍-aksen i $(0, 4)$ ‍?

Spørgsmål til overvejelse

Hvordan finder vi en linjes hældning ud fra dens ligning?

Udfordrende opgave 1

Hvilken af følgende ligninger kan repræsentere linjen ovenfor?

Udfordrende opgave 2

Skriv en ligning for en linje, hvis hældning er $10$ ‍ og skæring med $y$ ‍-aksen er $(0, - 20)$ ‍.

Hvorfor virker dette?

Måske undrer du dig over, hvorfor hældningen er

a

og skæringen med

y

-aksen er

b

, når vi har ligningen på formen y = ax +b .

Er det en slags magi? Det er helt sikkert ikke magi. I matematik er der altid en logisk forklaring. I dette afsnit kigger vi på denne egenskab ved at bruge ligningen

y = 2 x + 1

som eksempel.

Hvorfor $b$ ‍ angiver skæring med $y$ ‍-aksen

Der hvor linjen skærer

y

-aksen, er

x

-værdien altid nul. Så hvis vi ønsker at finde skæringen med

y

-aksen for linjen

y = 2 x + 1

, skal vi indsætte

x = 0

og isolere

y

\begin{aligned} y & = 2 x + 1 \\ = 2 \cdot 0 + 1 & Indsæt x = 0 \\ = 0 + 1 \\ = 1 \end{aligned}

Vi ser, at ved skæringen med

y

-aksen, bliver

2 x

lig med nul, og der er derfor kun

y = 1

tilbage.

[Jeg ønsker at se et bevis ved hjælp af den generelle form y=ax+b!]

Hvorfor $a$ ‍ angiver hældningen

Lad os lige hurtigt repetere, hvad hældning helt præcist er: Hældning er forholdet mellem ændringen i

y

over ændringen i

x

mellem to vilkårlige punkter på linjen.

Hældning = \frac{Ændring i y}{Ændring i x}

Hvis vi tager to punkter, hvor ændringen i

x

er præcis

1

enhed, vil så ændringen i

y

være lig med hældningen selv.

Hældning = \frac{Ændring i y}{1} = Ændring i y

Lad os så se på, hvad der sker med

y

-værdierne i ligningen

y = 2 x + 1

, når

x

-værdierne konstant øges med

1

enhed.

$x$ ‍	$y$ ‍
$0$ ‍	$1 + 0 \cdot 2$ ‍	$= 1$ ‍
$1$ ‍	$1 + 1 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2$ ‍
$2$ ‍	$1 + 2 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2$ ‍
$3$ ‍	$1 + 3 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2$ ‍
$4$ ‍	$1 + 4 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2 + 2$ ‍

Vi ser, at hver gang

x

stiger med

1

enhed, så stiger

y

med

2

enheder. Det er fordi,

x

bestemmer, hvor mange gange vi skal gange med

2

i beregningen af

y

Som vi kan se ovenfor, så svarer ændringen i

y

til linjens hældning, når

x

stiger med

1

enhed. Det er derfor, at hældingen er

2

[Jeg ønsker at se et bevis ved hjælp af den generelle form y=ax+b!]

-Udfordrende opgave 3

Skriv ligningen for linjen.

y =

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.