Hvis du ser denne besked, betyder det, at vi har problemer med at indlæse eksterne ressourcer til Khan Academy.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hovedindhold

Brug en sammensat funktion til at afgøre om funktioner er hinandens inverse

Sal laver sammensatte funktioner fra f(x)=(x+7)³-1 og g(x)=∛(x+1)-7, og konkluderer, at f(g(x))=g(f(x))=x, hvilket betyder, at funktionerne er hinandens inverse.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Video udskrift

Lad os sige, at f(x) = (x + 7)³ - 1. Og lad os sige, at g(x) = ∛(x + 1) - 7. Jeg vil nu skrive forskrifterne for f(g(x)) og g(f(x)), og se hvad jeg får. Jeg opfordrer dig som altid til at sætte videoen på pause og prøve selv. Lad os først skrive f(g(x)). Det betyder, at g(x), dette udtryk, er vores input. Alle steder vi ser x i forskriften for f(x), der indsætter vi g(x). Hvad bliver f(g(x)) ? Jeg kan se et x heroppe, så jeg skriver alt hvad g(x) er i stedet, nemlig ∛(x + 1) - 7. og så skal jeg huske dette +7 og det hele skal opløftes til 3. potens og -1. Bemærk, når jeg ser et x, så erstatter jeg det med, hvad g(x) er. så det bliver (∛(x + 1) - 7 + 7)³ - 1. Okay, nu vil jeg forsøge at reducere det. Vi har -7 + 7, så de fjernes nemt. Jeg bruger lige en ny farve. Det bliver lig (∛(x + 1))³ - 1. Når jeg tager kubikroden af (x + 1) og opløfter til tredje potens, så får jeg blot (x + 1). Så dette reduceres til x + 1 og så trækker jeg 1 fra, så det hele bliver lig med x. Vi har blot x tilbage. f(g(x)) = x. Lad os prøve at finde ud af, hvad g(f(x)) er. Det gør jeg herover. Hvad er g(f(x)) ? Det bliver kubikroden af... Alle steder jeg ser x, skriver jeg f(x) i stedet. Jeg gjorde det ikke sådan lige før, da indsatte jeg direkte forskriften for f. For at gøre det mere tydeligt, alle steder jeg ser x, der indsætter jeg f(x). Det bliver ∛(f(x) + 1) - 7. Det bliver så kubikroden af ... f(x) er alt dette halløj, så det bliver ∛((x + 7)³ - 1 + 1) - 7. Hvor heldigt, -1 og +1 går ud med hinanden. Nu skal vi tage kubikroden af (x + 7)³. Kubikroden af (x + 7)³ er blot x + 7, så alt dette reduceres til x + 7, men vi skal huske -7. Disse to går ud med hinanden, så vi har blot x tilbage. Nu kan vi se noget spændende. f(g(x)) er bare x og g(f(x)) er x. Når vi her starter med x, og indsætter det i funktionen g, så får vi g(x), som vi indsætter i funktionen f, og f(g(x) tager os tilbage til x. Vi er kommet retur. Det samme sker herover. Når jeg indsætter x i funktionen f, så får jeg f(x) som output, og når jeg indsætter det i funktionen g, så endnu engang retur, og jeg tilbage til x. Eller man kan sige... De er begge sammensatte funktioner. Dette er mængden af alle mulige input, i begge disse sammensatte funktioner, og dette er alle output. Du starter med et x. Jeg laver den her først. Lad mig lige skrive det ned. g tager x til g(x). Det er, hvad g gør, Funktion g tager x til en værdi g(x) og hvis du dernæst indsætter det i f altså indsætter g(x) så tages du tilbage til x. Det er f(g(x)). Og omvendt. Hvis du starter med x og du indsætter det i f så får du en værdi, som er f(x) som du dernæst indsætter i funktion g, så vil g tage dig tilbage igen. Dette er g(f(x)). Uanset hvilken vi bruger, så kommer vi retur. Vi ved derfor, at funktionerne g og f er hinandens inverse. Lad mig skrive det. f(x) = den inverse g(x) og omvendt. g(x) er lig den inverse f(x). Jeg håber, du kunne lide den.