Sætning om grænseværdier for sammensatte funktioner: når betingelserne ikke opfyldes

I den forrige video brugte vi denne regel på visse typer af sammensatte funktioner. I denne video skal vi se nogle eksempler, der er en smule mere komplicerede. Lad os sige, vi vil bestemme grænseværdien for f(g(x)), når x nærmer sig 0. Sæt videoen på pause og prøv at tænke over, om denne regel kan bruges. Det første vi skal se på er grænseværdien for g(x) når x nærmer sig 0. Opfylder vi den første betingelse? Hvis vi kigger på g(x) herover, når x nærmer sig 0 fra venstre, så synes g at nærme sig 2. Når x nærmer sig 0 fra højre, så synes g at nærme sig 2 så det ser ud til, at den er lig 2. Den kan tjekkes af. Lad os se på den anden betingelse. Er f kontinuert ved den grænseværdi, ved 2? Når x er 2, så ser det ikke ud til at f er kontinuert. Vi opfylder ikke den anden betingelse, så vi kan ikke bruge denne regel. Men bare fordi du ikke kan bruge reglen, så betyder det ikke nødvendigvis, at den grænseværdi ikke eksisterer. For eksempel i denne situation, der eksisterer grænseværdien rent faktisk. Når x nærmer sig 0 fra venstre, så synes g, at nærme sig 2 ovenfra og det bliver input i f. Når vi nu nærmer os 2 ovenfra i f, så synes at funktionen nærmer sig 0. Lad os prøve den anden vej. Når vi nærmer os 0 fra højre, så synes funktionsværdien at nærme sig 2 nedefra. Når vi nærmer os 2 nedefra, så synes f, at nærme sig 0. Så i begge disse tilfælde nærmer vores funktionsværdi sig 0. Jeg kunne ikke bruge regnereglen, men jeg kan stadig bestemme, at dette er lig 0. Lad mig lave endnu et eksempel. Lad os sige, vi vil bestemme grænseværdien for f(g(x)), når x nærmer sig 2. Sæt videoen på pause. Vi skal først se, om reglen kan bruges. Vi skal se, hvad grænseværdien for g(x) er når x nærmer sig 2. Når vi nærmer os 2 fra venstre, så synes g, at nærme sig -2. Når vi nærmer os x er lig 2 fra højre, så synes g, at nærme sig 0 Da vores højre og venstre grænseværdi ikke er den samme, så eksisterer den slet ikke. Da vi ikke har opfyldt denne betingelse, så kan vi ikke bruge reglen. Men som vi allerede har set, blot fordi du ikke kan bruge reglen, så betyder det ikke at grænseværdien ikke eksisterer. Hvis du kan lide at tænke over ting, så opfordrer jeg dig til vise, at denne grænseværdi ikke eksisterer ved at lave en lignende analyse som den jeg lavede i første eksempel.