Grænseværdien for (1-cos(x))/x, når x nærmer sig 0

I denne video skal vi finde ud af, hvad grænseværdien, når x nærmer sig 0, for 1 - cos(x) / x er lig. Vi vil antage, at vi ved en ting på forhånd. Vi vil antage, at vi ved, at grænseværdien, når x nærmer sig 0, for sin(x)/x er lig 1. Det vil jeg ikke bevise i denne video, da vi har en hel video, hvor jeg beviser denne berømte grænseværdi ved at bruge squeeze eller sandwich sætningen. Lad os se, om vi kan lave den her. Det første vi gør er at bruge algebra til at omskrive dette udtryk. Jeg vil gange både tæller og nævner med 1 + cos(x). Jeg gør det samme i nævneren. Ganger med 1 + cos(x). Jeg ændrer ikke værdien af udtrykket, da det svarer til at gange med 1. Hvorfor så det? Nu kan jeg omskrive det hele, som grænseværdien, når x nærmer sig 0... (1 - cos(x)) (1 + cos(x)) --Jeg bruger en anden farve-- det er et samme som 1², som er 1, - cos²(x) Det er tredje kvadratsætning. Og i nævneren har jeg x(1 + cos(x)). Hvad er 1 - cos²(x)? Vi kan bruge grundrelationen. Dette er det samme som sin²(x). Nu kan jeg omskrive dette til grænseværdien, når x nærmer sig 0... I stedet for sin²(x) skriver jeg sin(x)sin(x). Jeg tager den første sin(x) og sætter den over dette x, så sin(x) / x og ganger med den anden sin(x) over (1 + cos(x)), så gange sin(x) /(1 + cos(x)). Jeg har blot brugt en trigonometrisk regneregel og lidt algebra til at omskrive. Grænseværdien af produktet af disse to udtryk er lig med produktet af grænseværdierne. Jeg kan omskrive dette som lig med grænseværdien, når x nærmer sig 0, for sin(x)/x gange grænseværdien, når x nærmer sig 0, for sin(x)/(1+ cos(x)). Som jeg sagde tidligere i denne video, så vil vi antage at vi ved, hvad det er. Det har vi vist i andre videoer. Hvad er grænseværdien, når x nærmer sig 0, for sin(x)/x? Den er lig 1. Hele denne grænseværdi afhænger derfor af, hvad den her er lig. Det er ret lige til. Når x nærmer sig 0, så vil tælleren nærme sig 0, da sin(0) er 0. Nævneren vil nærme sig... cos(0) er 1, så nævneren vil nærme sig 2. Den vil nærme sig 0/2, som er 0. Den nærmer sig 0. 1 gange 0 er jo blot 0. Og vi er færdige. Ved at bruge den antagelse og lidt trig. regneregler og en smule algebra, så kan vi vise, at den oprindelige grænseværdi, når x nærmer sig 0, for 1 - cos(x)/x er lig 0. Prøv at tegne den. Du vil se, at det giver mening, rent grafisk - også.