If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold
Aktuel tid:0:00Samlet varighed:13:16

Video udskrift

. Vi har modtaget en interessant opgave, som vi skal løse. Opgaven lyder på, at der er 30 personer i et rum. De er 30 tilfældigt udvalgte personer. Spørgsmålet er, hvad sandsynligheden er for, at mindst 2 af personerne i rummet har samme fødselsdag? Det er et interessant spørgsmål, for 30 personer er størrelsen på de fleste klasser. Hvad er sandsynligheden for, at mindst 1 person i klasseværelset deler fødselsdag med en anden i klasseværelset? Det er en udmærket måde at sige det på. Det er det samme som at spørge, hvad sandsynligheden er for, at en person deler noget med en anden. De kunne dele fødselsdag med 2 andre personer eller 4 andre personer. . Ved første øjekast virker opgaven meget svær, fordi der er mange faktorer. Der kunne være præcis 2 med samme fødselsdag. Der kunne være præcis 3 med samme fødselsdag. Der kunne være præcis 29 med samme fødselsdag. Alle de her muligheder gør, at det virker svært, for så skal alle faktorererne tages med i udregningen. Når man lægger alle de her faktorer sammen, bliver det svært. I så fald måtte vi spørge, hvis fødselsdage vi sammenlignede? Så måtte vi lave kombinationer. Det bliver en meget svær opgave, medmindre vi prøver at gøre det mere simpelt. Lad os tegne universet for sandsynlighederne. . Lad os sige, at det her er alle udfaldene. Vi tegner det med en tykkere linje. . Lad os sige, at det er alle de mulige udfald i vores univers af sandsynligheder. Det er altså 100% af alle udfaldene. . . . . Lad os sige, at det her område er sandsynligheden. Vi ved ikke endnu, hvor stort området er, men det kommer vi frem til. Lad os sige, at det her område er sandsynligheden for, at 1 person deler fødselsdag med mindst 1 anden. . Hvad er det her grønne område? Hvis det her er området, hvor 1 person deler fødselsdag med mindst 1 anden, er det her området, hvor ingen har fødselsdag samme dag. . Man kan sige, at de 30 personer har forskellige fødselsdage. . Det er det, vi prøver at regne ud. Vi kalder det sandsynligheden for, at nogen deler. Vi kalder det sandsynligheden for s. . Hvis hele det her område er område 1 eller område 100%, vil det grønne område her være 1 minus sandsynligheden for s. 1 minus sandsynligheden for s. . . Det her er sandsynligheden for forskellige fødselsdage. Det her er sandsynligheden for, at de 30 personer har 30 forskellige fødselsdage. Ingen deler fødselsdag med nogen. Sandsynligheden for, at nogen har fødselsdag samme dag, plus sandsynligheden for, at ingen har fødselsdag samme dag, vil være lig med 1. Vi er jo enten i den her situation eller den her situation. Vi kan også sige, at det er lig med 100%. Lige meget hvad er 100% og 1 det samme tal. Det er lig med 100%. Så hvis vi regnede sandsynligheden ud for, at alle har fødselsdag samme dag, kunne vi trække det fra 100. Lad os se. Vi kan omskrive det her. Sandsynligheden for, at nogle deler fødselsdag, er lig med 100% minus sandsynligheden for, at ingen deler fødselsdag. Grunden til, at vi gør det her, er fordi det som sagt kan være kompliceret at regne ud. Vi kan regne sandsynligheden ud for, at 2 personer deler fødselsdag, eller 5 personer, og så bliver det meget forvirrende. Hvis vi nu ville regne sandsynligheden ud for, at alle i klassen have forskellige fødselsdage, er det faktisk meget nemmere. Så hvad er sandsynligheden for, at alle har forskellige fødselsdage? Lad os overveje det. . Person 1. Lad os for at gøre det simpelt lade som om, at der kun er 2 personer i rummet. Hvad er sandsynligheden for, at de har forskellige fødselsdage? Person 1 kunne have fødselsdag 365 ud af 365 dage på et år, Person 1 kan have fødselsdag når som helst. Hvis vi ville være sikre på, at person 2 og person 1 ikke har fødselsdag samme dag, hvor mange dage kunne person 2 så være født på? Person 2 kunne være født på alle dage, person 1 ikke var født på. Det vil sige 364 muligheder ud af 365. Hvis vi havde 2 personer, ville sandsynligheden for, at ingen var født den samme dag være lige med 364/365. Hvad ville der ske, hvis der var 3 personer? Den første person kunne være født på en hvilken som helst dag. Den anden person kunne være født på 364 dage ud af 365 dage. Hvad er så sandsynligheden for, at den tredje person ikke havde fødselsdag samme dag som den første eller anden person? 2 dage er optaget, så sandsynligheden er 363/365. Vi ganger dem ud. Vi omskriver den her. I stedet for 1 skriver vi, at tælleren er 365 gange 365 over 365 i anden potens. Vi vil gerne se mønsteret. Her er sandsynligheden 365 gange 364 gange 363 over 365 i tredje potens. Hvis vi fortsatte, til vi havde gjort det her med 30 personer, ville sandsynligheden for, at ingen har fødselsdag den samme dag være 365 gange 364 gange 363 og så videre. Vi ville have 30 led heroppe. Hele vejen ned til hvad? . Hele vejen ned til 336. Det vil så være 30 led divideret med 365 i tredivte potens. Det kan vi bare taste ind på lommeregneren. Det vil tage lidt tid at taste 30 tal ind, men vi vil finde sandsynligheden for, at ingen deler fødselsdag. Inden vi gør det, vil vi kigge på noget, der kan gøre det lidt lettere. Er der nogen måde, vi kan udtrykke det her på en matematisk måde med fakulteter? Eller det her? Lad os overveje det. Hvad er 365 fakultet? 365 fakultet er lig med 365 gange 364 gange 363 og hele vejen ned til 1. Vi fortsætter bare med at gange. Det bliver et gigantisk tal. Hvis vi i det her tilfælde bare vil gange 365 med 364, skal vi fjerne alle de her tal. En ting, vi kan gøre er at dividere det her med alle de her tal. Så 363 gange 362 og hele vejen ned til 1. Det er altså det samme som at dividere med 363 fakultet. 365 fakultet gange 363 fakultet er sådan set bare det her, fordi alle de her led går ud med hinanden. Det er altså lig med 365 fakultet over 363 fakultet over 365 i anden potens. I det her tilfælde er det næsten fjollet at arbejde med fakulteter, men det bliver brugbart, når vi på et tidspunkt får noget større end to led heroppe. Med den samme tankegang bliver det her lig med 365 fakultet over 362 fakultet over 365 i anden potens. Lige en anden interessant pointe. Hvordan kom vi frem til den her 363 fakultet? 365 minus 2 er 363. Det giver mening, fordi vi kun ville have 2 led heroppe. Vi ville kun have 2 led her. Vi ville altså dividere med en fakultet, der var 2 mindre. På den måde ville vi kun have de øverste 2 led tilbage. Man kan også skrive det her som 365 fakultet divideret med 365 minus 2 fakultet. 365 minus 2 er lig 363 fakultet. Så ender vi med de her 2 led her. På samme måde kan vi omskrive den her tæller til 365 fakultet divideret med 365 minus 3 fakultet, fordi der var 3 personer. Det skulle gerne give mening. 365 minus 3 fakultet er 362 fakultet. Det her er altså lig med 365 gange 364 gange 363 hele vejen ned. Divideret med 362 gange hele vejen ned. Det her går ud med alt andet, og vi står tilbage med det her. . Med den samme logik kan den her øverste del blive skrevet som 365 fakultet over hvad? 365 minus 30 fakultet. Alt det her gjorde vi for at vise mønsteret, og fordi det er meget lettere at taste ind på en lommeregner, hvis man ved, hvor fakultetknappen er. Lad os nu regne ud, hvad den samlede sandsynlighed er. Lad os starte med tælleren. . Hvad er 365 minus 30? Det er 335. 365 fakultet divideret med 335 fakultet. Det er hele tælleren. Nu vil vi dividere tælleren med 365 i tredivte potens. Det bliver 0,2936. Er lig med 0,2936. Hvis vi afrunder det, bliver det faktisk 37, hvilket er lig med 29,37%. For lige at opsummere, var det her sandsynligheden for, at ingen havde fødselsdag samme dag. Det her er sandsynligheden for, at alle havde fødselsdag på forskellige dage. Vi sagde, at sandsynligheden for, at nogen har fødselsdag samme dag som 1 eller flere andre, var lig med alle mulighederne, det vil sige 100%, minus sandsynligheden for, at ingen har fødselsdag samme dag. Det er altså lig med 100% minus 29,37%. Vi kan også skrive det som 1 minus 0,2937. Vi skal altså trække det fra 1. . 1 minus 0,2937. Det er lig med 0,7063. Sandsynligheden for, at nogen har fødselsdag samme dag som 1 eller flere andre, er 0,7063 med en masse decimaler. Det er cirka lig med 70,6%. Det er et ret pænt resultat, for man skulle ikke tro, at sandsynligheden for, at nogen i samme lokale havde fødselsdag samme dag, var stor. Den er faktisk ret høj. Hvis der er en gruppe på 30 personer, vil der 70% af tiden være 1, der har fødselsdag samme dag som 1 eller flere andre i rummet. . . . .