Eksempel: sandsynlighed i et lotteri

. For at vinde en given lotteritrækning, vælger en spiller 4 tal fra 1 til 60 Hvert tal kan kun blive valgt en gang Hvis alle 4 tal matcher de 4 vindende tal, uanset rækkefølgen vinder spilleren Hvad er sandsynligheden for at de vindende tal er 3,15 46 og 49 Opgaven lægger altså op til at vi skal vælge 4 tal fra 60 mulige Så en måde at tænke på det er, hvor mange forskellige udfald er der, hvis vi vælger 4 tal ud af 60? Dette svarer til at sige ... hvor mange kombinationer er der hvis vi har 60 elementer? I dette tilfælde har vi 60 tal, og vi skal vælge 4 Og vi tillægger ikke rækkefølgen nogen betydning Det er netop derfor vi har at gøre med kombinationer og ikke permutationer Vi tillægger ikke rækkefølgen nogen betydning Så hvor mange forskellige udpluk af 4 kan vi vælge ud af 60? Og vi tillægger ikke rækkefølgen nogen betydning Og som vi har set i tidligere videoer er der en formel men det er vigtigt at forstå ræsonnementet bag formlen Jeg skriver formlen ned her, men vi skal overveje hvad den rent faktisk beskriver Så det er 60 fakultet over (60 minus 4) fakultet divideret med 4 fakultet .. eller gange med 4 fakultet i nævneren. Så her er formlen Men hvad formlen reelt siger, denne del her 60 fakultet divideret med (60 minus 4) fakultet, der er det samme som 60 gange 59 gange 58 gange 57 Det er hvad udtrykket her er. Og hvis vi overvejer det, det første tal vi vælger Der er 1 ud af 60 tal, men når tallet er udtaget kan det ikke vælges igen (uden tilbagelægning) Så kan vi vælge et ud af 59 så et ud af 58 så et ud af 57 Så hvis vi tillagde rækkefølgen betydning, så er det antallet af permutationer der kan dannes på 4 elementer ud af en mængde på 60 uden tilbagelægning Okay så det er hvis vi tillægger rækkefølgen betydning, men vores tal er for højt fordi vi tæller forskellige permutationer med som faktisk er de samme kombinationer, dvs de samme sæt af 4 tal. og det er derfor vi dividerer med 4 fakultet fordi 4 fakultet er antallet af måder 4 tal kan arrangeres på 4 pladser ikke? Det første tal kan være i et af de 4 pladser, det næste i et af de 3, så 2 så 1 Det er derfor man dividerer med 4 fakultet Ok, lad os evaluere Dette vil fortælle os hvor mange mulige udfald der er for lottotrækningen. Så der er det samme som ... vi har allerede bestemt at den blå del er lig med 60 gange 59 gange 58 gange 57 så det er bogstaveligt talt 60 fakultet divideret med 56 fakultet og så har vi 4 fakultet her, som er 4 gange 3 gange 2 gange 1 Og vi kunne reducere udtrykket en smule før vi bruger lommeregneren 60 divideret med 4 er 15 15 divideret med 3 er 5 .. Og så har vi 58 divideret med 2 lig 29 Så vores svar er 5 gange 59 gange 29 gange 57 Dette er ikke vores endelige svar, det er antallet af kombinationer hvis vi plukker 4 tal ud af 60 og vi ikke tillægger rækkefølgen nogen betydning Så lad os bruge lommeregneren nu Så vi har 5 gange 59 gange 29 gange 57 det er lig med 487.635 Lad os skrive det ned. Det er 487.635 kombinationer Hvis vi vælger 4 tal, så vælger vi 4 tal ud af 60 eller binomialkoefficienten af 60 over 4 Ok så spørgsmålet vi stilles er, hvad er sandsynligheden for hændelsen at de vindende tal er 3, 15, 46 og 49? Kombinationen af vindertallene er kun ét tilfælde ud af (alle) kombinationerne Altså 1 ud af 487.635 mulige udfald Så sandsynligheden for at 3, 15, 46 og 49 er de vindende tal er lig med ... ..1 ud af de mulige 487635 udfald .. Så dette her er sandsynligheden for at vinde. Dette er ét udfald ud af alle de mulige udfald eller kombinationer, når man fra en mængde på 60 laver et udpluk på 4 ..