Ende-adfærd for rationale funktioner

Vi er givet funktionen f(x) som har denne forskrift og vi bliver spurgt, hvad går f(x) mod, når x går mod -∞? Når x bliver mere og mere og mere og mere negativ, hvad går f(x) mod? Som altid sæt videoen på pause og tænk over det. En ting jeg ofte gør, når jeg skal afgøre, hvad en funktion gør, når x bliver meget positiv eller meget negativ, er at omskrive den. Jeg skriver lige forskriften. 7x² - 2x / 15x - 5. [Sal skrev - i stedet for +] En smart metode, der viser, hvad de forskellige led gør, når x bliver meget positiv eller x bliver meget negativ, er at dividere både tæller og nævner med højestegradsleddet i nævneren. Højestegradsleddet i nævneren er et førstegradsled. Vi har blot x her. Lad os gange både tæller og nævner med 1/x eller dividere tæller og nævner med x. Når vi gør det samme i tæller og nævner, altså ganger eller dividerer med samme værdi, så svarer det til at gange med 1, jeg ændrer ikke værdien. Dette vil gøre det lidt nemmere at se, hvad der sker, når x bliver meget meget meget negativ. 7x² dividet med x eller gange 1/x er blot 7x. 2x gange 1/x eller 2x divideret med med x er 2. Dette er over 15x divideret med x eller 15x over x, som blot er 15. Du har 5 over x eller 5 gange 1/x er lig -5/x. I denne situation er dette er tilsvarende med det vi startede med, men nu er det lidt nemmere at se, hvad der sker, når x bliver meget meget meget negativ. Når x bliver meget meget meget meget meget meget meget negativ, så bliver det et meget stort negativt tal. Du trækker 2 fra, men det gør ikke nogen forskel. Du dividerer det med 15, som heller ikke gør nogen forskel. 5/x bliver meget meget meget småt. Du tager 5 og dividerer det med mere og mere negative tal. 5/x går mod nul. 7x går mod minus uendelig 7 gange -1 trillion. 7 gange -1 kvintilliard. 7 gange -1 fantasillion. Vi får et mere og mere negativt tal, så det vil gå mod minus uendelig. Det gør ingen forskel at du trækker 2 fra. Det vil blot gøre det mere negativt. Det gør ingen forskel, at du dividerer med 15. Du vil stadig gå mod minus uendelig. Hvis du har et vilkårligt negativt tal og dividerer det med 15, så har du stadig et vilkårligt negativt tal. Dette går mod negativ endelig. Du kan også gribe det an på en anden måde. Det er ofte, sådan jeg gør, når jeg ser denne type af opgaver. Hvilke led vil dominere i tæller og nævner? Hvad mener jeg med dominere? Når x bliver meget positiv eller x bliver meget negativ, altså den numeriske værdi af x bliver meget stor, leddene af en højere grad vil vokse hurtigere end led med en lavere grad. Vi kan derfor sige, for store x --når jeg siger store, mener jeg stor numerisk værdi-- --minus uendelig har en stor numerisk værdi-- vil f(x) vil gå mod højestegradsleddet i tælleren 7x² divideret med højestegradsleddet i nævneren 15x. 5 er en konstant, når 15x bliver større og større vil 5 få mindre betydning, meget mindre. f(x) vil gå mod dette, som er lig 7x / 15. Hvad sker der, når x bliver meget meget negativ? Du vil få mere og mere negative værdier for f(x). f(x) vil gå mod minus uendelig, når x går mod minus uendelig. Lad os lave en mere. Find den vandrette asymptote til q. Det svarer til, hvad funktionen går mod, når x går mod uendelig eller når x går mod minus uendelig. Her er et par eksempler. Det er ikke nødvendigvis vores q(x). Du kan forestille dig en funktion med en vandret asymptote ved y er lig 2. Dette er y er lig 2. Lad mig tegne den linje. Lad os sige, den har en vandret asymptote her. Grafen kan så se nogenlunde således ud. Lad mig tegne et par stykker, der har en vandret asymptote. Måske den gør sådan her, men når x bliver meget stor, så begynder funktionen at nærme sig y er lig 2 -uden nogensinde at nå der til. Den kan også gøre det på denne side. Når x bliver mere og mere negativ, så nærmer den sig uden at nå der til. Den kan også have en lodret asymptote. Den kan se således ud. Den nærmer sig en vandret asymptote nedefra, når x bliver mere og mere negativ og ovenfra, når x bliver mere positiv eller omvendt. Det er for at give dig en fornemmelse af, hvad en vandret asymptote er. Den vil vise, hvilken værdi en funktion går mod, når x blive meget positiv eller x bliver meget negativ. Lad os se på det. Vi kan gøre det samme som i forrige opgave. Hvad sker der, når vi dividerer disse led med højestegradsleddet i nævneren? q(x) vil så være... Højestegradsleddet i nævneren er x⁹. Vi siger 6x⁵ divideret med x⁹ er 6/x⁴ -2/x⁹ alt dette over... Jeg dividerer 3x² med x⁹, som er 3/x⁷, +1. Hvis x går mod plus eller minus uendelig, så vil 6 divideret med et vilkårligt stort tal gå mod 0. 2 divideret med et vilkårligt stort positivt eller negativt tal vil gå mod 0. Tælleren vil tydeligvis gå mod 0. Dette led i nævneren divideret med et vilkårligt stort tal uanset om vi går i den positive eller negative retning, vil gå mod 0. Det vil gå mod 0 fra den negative retning eller vi kan sige nedefra, når vi har meget negative x'er. Hvis vi har meget positive x'er, så vil det gå mod 0 oppefra. Vi får mindre og mindre positive værdier. Alle disse vil gå mod 0. Den her vil forblive 1. Hvis du går mod 0 i tælleren og du går mod 1 i nævneren, så vil det hele gå mod 0. Derfor vil q(x) have en vandret asymptote ved y er lig 0. Jeg ved ikke præcis, hvordan grafen ser ud, men vi kan tegne en vandret asymptote ved y er lig 0 og den vil nærme sig både oppe fra og nedefra. Lad os lave en mere. Hvad går f(x) mod, når x går mod minus uendelig? Lad os dividere alle disse led med højestegradsleddet i nævneren. Det er x⁴. 3x⁴ divideret med x⁴ er 3. -7/x² er 7x² divideret med x⁴. - 1/x⁴ Alt sammen over. x⁴ divideret med x⁴ er 1. -2/x + 3/x⁴. Dette er det samme som, i hvert fald i denne sammenhæng, som en ende-adfærd, når x går mod minus uendelig. Jeg dividerer det hele med x⁴ Hvad sker der, når x går mod minus uendelig? -7/x² vil gå mod 0. - 1/x⁴ vil gå mod 0. -2/x vil gå mod 0 og 3/x⁴ vil gå 0. Alt dette vil gå mod 0, så tilbage har vi, at vi går mod 3/1 eller 3. Vi kan også se på de to højestegradsled. 3x⁴ og x⁴. Ignorere alt andet, da de bliver overgået af disse højestegradsled. Du kan sige, at f(x) går mod 3x⁴ / x⁴ for store værdier af x. Meget negativ er stadig en meget stor numerisk værdi. 3x⁴ divideret med x⁴. f(x) går mod 3. Man kan også gribe det an således.