Asymptoter for rationale funktioner

Vi har f(x) = 3x² - 18x - 81 / 6x² - 54. I denne video vil jeg finde ligningerne for de vandrette og lodrette asymptoter. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og selv prøve, inden jeg laver den. Jeg antager, at du selv har prøvet. Lad os se på hver af dem. Lad os først se på den vandrette asymptote og se om der er en. En vandret asymptote er den vandrette linje som f(x) nærmer sig, når den numeriske værdi af x nærmer sig uendelige, eller du kan sige, hvad f(x) nærmer sig, når x går mod uendelig og hvad f(x) nærmer sig, når x går mod minus uendelig. Du kan gribe det an på et par måder. Lad mig skrive forskriften for f(x) igen. Den er 3x² - 18x - 81 / 6x² - 54. Du kan gøre et par ting. Du kan sige, når den numeriske værdi af x bliver større og større og større, så vil højestgradsleddet i tælleren og i nævneren dominere. I tælleren er det 3x² og i nævneren er det 6x². Når den numeriske værdi af x nærmer sig uendelig, så vil disse to led dominere. f(x) kan tilnærmes til 3x²/6x². De andre led vil betyde mindre. -54 vil slet ikke ændre sig og -18x vil vokse meget langsommere end 3x². Højestegradsleddene vil dominere. Hvis vi kun ser på disse led, så kan du reducere og får, at f(x) vil nærme sig 3/6 eller 1/2. Du kan derfor sige, at der er en vandret asymptote ved y = 1/2. Vi kan også gribe det an på en anden måde, hvis du ikke bryder dig om dette lidt uldne argument, at disse to led dominerer. Du kan dividere tæller og nævner med den højeste grad i tæller og nævner. Den højeste grad i tælleren og i nævneren er x². Lad os dividere både tæller og nævner med x². Du ganger tælleren med 1/x² og nævneren med 1/x². Husk vi ændrer ikke værdien af udtrykket, da vi ganger med 1, hvis vi antager, at x ikke er lig 0. I tælleren får vi 3x² divideret med x², som er lig 3 og - 18/x - 81/x². Alt det skal være over 6x² gange 1/x², som er 6 og så -54/x². Hvad sker der så? Hvad er grænserne, når x går mod uendelig? Hvad sker der? Dette, dette og det her vil gå mod nul, så du får 3/6 eller 1/2. Hvis x går mod minus uendelig, så får du det samme. Dette, dette og det her går mod nul, så du går igen mod 1/2. Det er den vandrette asymptote. y = 1/2. Lodrette asymptoter. Lad mig lige gå herover. Mulige lodrette asymptoter. Der kan være mere end en. Det er måske meget fristende at sige, der er en lodret asymptote, når nævneren er lig 0, da det gør rationale udtryk udefineret. Men vi skal se, at det ikke er helt korrekt. At nævneren er lig 0 er ikke i sig selv nok til at have en lodret asymptote. Funktionen er helt sikkert ikke defineret, men det er ikke nok i sig selv til at give en lodret asymptote. Lad os se på nævneren. Nej, lad os faktorisere både tæller og nævner. Vi kan omskrive f(x) som... Alle led i tælleren kan divideres med 3, så vi sætter 3 udenfor parentes. Det bliver 3(x² - 6x -27). Alt dette over... I nævneren kan alle led divideres med 6. 6(x² - 9). Lad os se om, vi kan faktorisere yderligere. Det bliver f(x) = 3(... To tal med produktet -27 og summen -6? -9 og 3 ser gode ud. Du får 3(x - 9)(x + 3). Vi har faktoriseret tælleren, som er over... I nævneren bruges 3. kvadratsætning. Det bliver 6(x - 3)(x + 3). Hvornår er nævneren lig 0? Nævneren er lig nul, når x = 3 eller x = -3. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og overveje om begge disse er lodrette asymptoter. Du har måske set, at tælleren også er nul, når x = -3. Vi kan faktisk reducere en smule, så det bliver lidt nemmere at se, hvor vores lodrette asymptoter er. Vi kan dividere tæller og nævner med (x + 3). Hvis de to funktioner skal være ens, så skal vi lige huske at skrive, at funktionen ikke er defineret for x = -3, da det svarer til at dividere med 0. Det skal vi huske, når vi reducerer udtrykket. Dette er præcis den samme funktion, når vi dividerer tæller og nævner med (x + 3). Det bliver 3(x - 9) / 6(x - 3), når x ikke er lig -3. Det er en identisk funktion til den oprindelige funktion, når jeg angiver den begrænsning, at x ikke kan være lig -3, da vores oprindelige funktion ikke er defineret, når x = -3. x = -3 er ikke i den oprindelige definitionsmængde. Når vi fjerner (x + 3) fra tæller og nævner, så skal vi huske det. Hvis vi blot skriver dette, så er det ikke den samme funktion. Da det nye udtryk uden denne begrænsning er defineret, når x = -3. Vi skal have præcis den samme funktion. Du har derfor en hævelig diskontinuitet ved x = -3. Nu kan vi se på lodrette asymptoter. Lodrette asymptoter er, hvor nævneren, men ikke tælleren, er lig 0, x = -3 gør dem begge lig 0. Vores lodrette asymptote er ved x = 3 Det gør nævneren lig 0, men ikke tælleren. Den lodrette asymptote er ved x = 3. Ved at bruge disse oplysninger kan du begynde at forsøge at tegne grafen. Det er ikke i sig selv nok. Du skal bruge et par punkter for at se, hvad der sker, når vi nærmer os disse to forskellige asymptoter. Lad os for sjov prøve at se på det. Funktionen vil se nogenlunde således ud. Jeg bruger ikke de rigtige forhold. Det er 1 og det er 1/2. y = 1/2 er en vandret asymptote. Vi har en lodret asymptote, når x = 3. Den laver jeg med blå. 1 2 3 ... ikke helt i rette forhold. x- og y-akserne er ikke ens. Vi har en lodret asymptote her. Vi ved ikke, hvordan funktionen ser ud. Den kunne gøre således og således eller sådan her. Eller den kan gøre noget i denne retning her og her. Eller her og der. Men for at finde ud af, hvad den gør, så kan du prøve nogle punkter. Vi skal huske, at funktionen ikke er defineret, når x = -3. Lad mig vise x er lig -3. 1, 2 ,3 så funktionen kunne se således ud. Den kunne gøre således, hvor den ikke er defineret ved -3, og så gør den sådan her og sådan her. Eller måske gør den således, stadig ikke defineret ved -3, og så gør den sådan her eller sådan her. For at finde ud af hvordan, så må du indsætte nogle værdier. Jeg opfordrer dig til selv at prøve efter denne video at afbilde grafen og se, hvordan den ser ud.