Grafer for rationale funktioner: nulpunkter

Vi får at vide, at f(x) = 2x² - 18 / g(x), hvor g(x) er et polynomium. De spørger os, hvilken af følgende kan være en graf for y = f(x)? De har givet os fire muligheder. Som altid opfordrer jeg dig til at sætte videoen på pause og prøve at løse den. Se på f(x) og overvej hvilken af disse grafer der kan passe til f(x). Okay, lad os lave den sammen. De har ikke givet os mange oplysninger. De siger intet om nævneren af dette rationale udtryk. De giver os tælleren. Vi har før set, at det er nyttigt at faktorisere tælleren og se, hvilke x-værdier der gør noget spændende. Især hvilke x-værdier der gør tælleren lig nul. Når vi faktoriserer tælleren kan vi skrive f(x) =... Vi kan sætte 2 udenfor en parentes, så vi får 2(x² - 9) / g(x). Vi kender ikke nævneren. Vi ved blot det er et polynomium. Lad os se, tælleren har (x² - 9). Det kender du måske som 3. kvadratsætning, som kan faktoriseres til 2(x + 3)(x - 3). Det har vi gjort et utal af gange. Hvis det er nyt for dig, så opfordrer jeg dig at se videoer om 3. kvadratsætning eller faktorisering af polynomier. (x² - 9) er det samme som (x + 3)(x - 3). Og alt dette er stadig over g(x). Det første vi kan kigge på er, hvornår tælleren er lig 0? Når x = -3 eller når x = 3. Hvis x = -3, så vil dette udtryk være 0. Hvis x = 3, så vil dette udtryk være 0. Du tænker måske, at vi har nulpunkter ved 3 og -3. Måske er f(-3) = 0 og f(3) = 0. Disse værdier ser helt sikkert ud til at gøre tælleren lig 0. Lad os kigge på mulighederne. Mulighed A et nulpunkt ved 3, men den har ikke noget ved -3. Den har en lodret asymptote ved -3. Det er lidt mystisk. Mulighed B har et nulpunkt ved 3, men der sker ikke noget spændende ved -3, hvor den er defineret. Den har ikke engang en lodret asymptote. Den ser også lidt mærkværdigt ud. Mulighed C har en hævelig diskontinuitet ved 3 og en lodret asymptote ved -2, men der sker ikke noget spændende ved -3. Igen lidt mystisk. D har nulpunkter ved 6 og -6. Ingen af mulighederne har nulpunkter ved både x = 3 og x = -3. Hvad foregår der? Det vi skal huske på er bare fordi noget gør tælleren lig 0, så betyder det ikke nødvendigvis, at funktionen har et nulpunkt der. Du tænker, hvorfor ikke? Du skal huske på de tilfælde, hvor disse værdier også gør nævneren lig nul. Lad mig skrive nogle mulige f(x)'er her. Vi ved kun, at g(x) er et polynomium. Så f(x) kan være... Tælleren er 2(x + 3)(x - 3) over Lad os antage at g(x) --nu finder jeg bare på noget-- g(x) = x + 1. I denne situation vil ingen af de værdier, der gør tælleren lig nul gøre nævneren lig nul. I denne situation vil du have to nulpunkter ved x = 3 og x = -3. Der vil være to nulpunkter. Lad os se på en anden situation. Lad os se på en situation, hvor f(x) = --tælleren kender du-- 2(x + 3)(x - 3) og lad os sige at en af disse værdier, 3 eller -3, også gør nævneren lig 0. Lad os sige (x + 3)(x + 1). Da (x + 3) er en faktor i både tæller og nævner, så kan du dividere (x + 3) med (x + 3). De går ud med hinanden. Nu vil x = -3 være en hævelig diskontinuitet. Der vil være et nulpunkt, når x = 3 og en hævelig diskontinuitet, når x = -3. De værdier, der gør tælleren lig 0, kan altså være et nulpunkt eller en hævelig diskontinuitet. Her valgte jeg at lave en hævelig diskontinuitet ved x = -3, men jeg kunne have gjort det omvendt eller for begge værdier. Hvis det var 2(x + 3)(x - 3)/(x + 3)(x - 3), så ville du have en hævelig diskontinuitet både når x=3 og x = -3. Men vi kan gå videre og sige at f(x) kunne se således ud 2(x+3)(x -3) / (x + 3)² --og nu finder jeg bare på noget-- (x + 1). Hvad vil der ske her? Selv når du dividerer tæller og nævner med (x + 3), så har du (x + 3) tilbage i nævneren. Du fjerner en af (x + 3)'erne, men du stadig (x + 3) tilbage. Og derfor vil du have en lodret asymptote. Du vil har et nulpunkt, når x = 3 og en lodret asymptote, når x = -3. De situationer, jeg lige har vist dig, viser, at det ikke nødvendigvis er enhver værdi, der gør tælleren lig 0, der også er nulpunkt for funktionen. De kan være nulpunkter. De kan være hævelige diskontinuiteter eller de kan være lodrette asymptoter. De er alle mulige, når x = 3 eller -3. Lad os derfor se på mulighederne igen. Mulighed A har et nulpunkt ved x = 3 og en lodret asymptote ved x = -3 så det stemmer overens med den sidste situation jeg lige har beskrevet. Mulighed A ser faktisk god ud. Mulighed B har et nulpunkt ved x = 3, men den lodrette asymptote er ved x = 2 og der sker ikke noget spændende ved x = -3. Den kan vi udelukke. Mulighed C har en hævelig diskontinuitet, når x = 3, som er en mulighed. Vi kan have en situation, hvor noget der gør tælleren lig 0 kan være en hævelig diskontinuitet, hvis du har samme faktor i nævneren. Men den lodrette asymptote er ikke ved x = -3. Den er ved x = -2. Den kan udelukkes, da der ikke sker noget spændende, når x = -3. D har to nulpunkter, men de er ikke ved x = 3 eller -3. De er ved x = 6 eller -6. Den kan vi helt sikkert udelukke. Så vi kan være ret sikre på at mulighed A er korrekt.