Bevis for cosinusrelationerne

I den forrige video havde vi en opgave, hvor vi skulle bestemme siderne i en trekant, men i stedet for at blot at kunne bruge Pythagoras' læresætning, fordi det var en retvinklet trekant, så var det en ja normal trekant, altså ikke en retvinklet trekant. Vi kom i gennem den ved at bruge "Mod Hos ModHos" og vores trig funktioner og vi fik det rigtige svar. Nu vil jeg introducere noget, der hedder cosinusrelationerne, som vi faktisk påviste i forrige video, men jeg vil gerne bevise den uden en opgave, der forstyrrer. Når du først kender cosinusrelationerne, så kan du bruge dem i opgaver, som du har løst før, men nu løse dem hurtigere. Jeg har lidt blandede følelser, da jeg ikke er en stor tilhænger af at lære ting udenad. Når du bliver 40 år kan du sikkert ikke længere huske cosinusrelationerne, men du vil kunne starte med en trig funktion og fortsætte derfra. Jeg vil blive imponeret, hvis du laver trigonometri, når du er 40, men hvem ved. Lad os komme i gang og se, hvad disse cosinusrelationer handler om. Lad os sige, at jeg kender denne vinkel θ og lad os kalde denne side a. Nej, lad os kalde den side b. Jeg vil være lidt uforudsigelig. -- lad mig bruge sidernes farve -- Lad os kalde den b og denne her c og denne side a. Hvis det var en retvinklet trekant, så kunne vi have brugt Pythagoras' læresætning på en eller anden måde, men det kan vi ikke nu. Hvad gør vi så? Lad os antage, at vi kender b, vi kender c, vi kender θ og vi skal løse for a. Generelt, når du kender tre af disse, så kan du løse for den fjerde, når du kender cosinusrelationerne. Hvordan gør vi det? Vi gør præcis det samme, som vi gjorde i forrige opgave. Vi laver en linje her -- åh, jeg troede jeg lavede en streg -- edit - undo -- Jeg kan lave en linje således. Nu har jeg to rette vinkler. Når først jeg har retvinklede trekanter, så kan jeg bruge trig funktioner og Pythagoras' læresætning og så videre og så videre. Lad os se, dette er en ret vinkel og dette er en ret vinkel. Hvad er denne side? Jeg kommer sikkert til at bruge alt for mange farver men det er til din fordel. Hvad er længden af denne lilla side? Vi kan bruge "Mod Hos ModHos". Jeg skriver lige "Mod Hos ModHos" heroppe. Den lilla side er hosliggende til θ og den blå-violet side b er hypotenusen i denne retvinklede trekant. Jeg holder mig til en farve, da det tager for lang tid at skifte. Vi ved, at cos(θ) -- lad os kalde denne side d -- Vi ved, at cos(θ) = d/b, ikke? Vi kender b. Så d er lig b cos(θ). Lad os kalde denne side e. Hvad er e? e er hele denne side c minus d. e er lig c - d. Vi har lige isoleret d, så e = c - b∙cos(θ). Det er e. Vi har klaret e. Hvad er denne magenta side? Lad os kalde den m for magenta. m er modstående til θ. Vi kan isolere for c, men vi kender b og b er nem. Hvilken sammenhæng svarer til m/b? Altså modstående og hypotenusen? Det er sinus, modstående over hypotenusen. Vi ved, at m/b = sin(θ). -- lad mig gå her over -- m/b, da b er hypotenusen, er lig sin(θ) eller m er lig b∙sin(θ). Vi har bestemt m, vi har bestemt e og nu skal vi bestemme a. Det burde spring i øjnene. Vi har to sider i en retvinklet trekant. Vi skal finde hypotenusen. Vi kan bruge Pythagoras' læresætning. Pythagoras' læresætning fortæller os, a² er lig m² + e², ikke? Kvadratet af de andre to sider. Hvad er m² + e² ? --lad mig skifte farve for at være uforudsigelig -- a² er lig m²,og m er bsinθ, så (b∙sin(θ))² + e², som vi ved er dette, så det er + (c - b∙cos(θ))². Lad os mosle os gennem noget algebra. Det er b² sin²θ. sin²θ betyder blot (sinθ)², ikke? Vi kan gange denne ud. c² - 2b∙c∙cosθ + b²cos²(θ), ikke? Jeg har blot ganget det ud. Lad os, se om vi kan gør noget spændende. Vi kan tage dette led og dette led. Disse to led er b²∙sin²θ + b²∙cos²θ og så har vi + c² - 2b∙c∙cosθ. Hvad kan det reduceres til? Dette er det samme som b² (sin²θ + cos²θ). -- nu burde noget springe i øjnene -- + c² - 2b∙c∙cosθ. sin²θ + cos²θ af enhver vinkel er 1. Det er grundrelationen. Dette er lig 1 og tilbage har vi -- tilbage til min oprindelige farve -- -- vi er nærsten færdige -- a² er lig, da dette er 1, så b² + c² - 2b∙c∙cosθ. Det er da ret sejt og det kaldes cosinusrelationerne. Det er nyttigt, når du kender en vinkel og to sider i en vilkårlig trekant, så kan du finde den sidste side. Eller når du kender 3 sider i en trekant, så kan du nu finde en af vinklerne og det er da meget nyttigt. Du skal blot huske på, hvis du har trigonometri lige nu og har en test i morgen, så bør du lære den udenad, da du kan løse opgaver hurtigere. Jeg er ikke stor tilhænger af blot at lære udenad uden at vide, hvor tingene kommer fra. Om 1 eller 2 år, når du er på universitetet og det er 4 år siden du have trigonometri, så kan du nok ikke længere huske den. Så er det godt at vide, hvordan man løser en opgave fra bunden. Med det sagt, dette er cosinusrelationerne og du kan bruge cosinusrelationerne, til at løse opgaver meget hurtigere. Du tegner trekanten og indsætter og løser for a. Vi ses i næste video.