(Algebraisk) løsningsmængde til en cosinus-ligning

Formålet med denne video er at finde løsningsmængden til følgende ligning -6∙cos(8x) + 4 = 5. Som altid opfordrer jeg dig til at sætte videoen på pause og selv prøve at løse den før vi løser den sammen. Vi skal bruge hele løsningsmængden, ikke blot en løsning. Okay, lad os lave den sammen. Nogle af jer har nok tænkt, at det er en god ide at isolere cos(8x), og en god måde at gøre det på er at trække 4 fra på begge sider, som giver os -6∙cos(8x) -- jeg har trukket 4 fra på venstre side, så dette 4 er fjernet -- og jeg trækker 4 fra 5, som er 1. Nu kan jeg gange på begge sider af ligningen med -1/6 -- jeg vil kun have 1 foran cosinus -- Det bliver 1, så jeg har kun cos(8x) = -1/6. Jeg kan fortsætte og tage invers cosinus til -1/6 og dividere det med 8 og jeg vil have en løsning. Dette er et godt tidspunkt at sikre os, at vi finder alle løsningerne. Jeg skal vist lige minde os om nogle overgangsformler. Jeg laver hurtigt en enhedscirkel. Dette er x-aksen og dette er y-aksen og min hurtige håndtegnet enhedscirkel -- som ser nogenlunde således ud -- er ikke særlig pæn. Vi skal finde vinkler som, når jeg tager cosinus til dem, giver mig -1/6. -1/6 ligger her et sted. Der er en vinkel her, der giver det. Vi ved, at cosinus af en vinkel er x-koordinaten af vinklens retningspunkt. Hvor vinklen skærer enhedscirklen. Men der er et sted mere. Hvis vi tager det negative af den vinkel, så er vi her og har den samme cosinus. Vi kan komme til den negative vinkel ved at gå denne vej. Det er derfra overgangsformlen cos(-θ) = cos(θ) kommer fra. Hvis cos(8x) = -1/6, kan vi bruge denne formel og vide, at cosinus til det negative af dette også er lig -1/6. Lad mig skrive det. cos(-8x) = -1/6. Nu har vi allerede udvidet vores løsningsmængde, da dette er en anden x-værdi med det rigtige resultat, men er vi færdige? Endnu en ting at huske på er, hvis jeg har en vinkel og når jeg tager cosinus til den, så får jeg -1/6. Hvis jeg tilføjer 2𝜋, så er jeg samme sted, og cosinus vil igen være -1/6. og jeg kan lægge 2𝜋 til igen. Jeg kan faktisk lægge 2𝜋 til et vilkårligt heltal gange. Jeg kan omskrive dette til cos(8x + 2𝜋∙n) = - 1/6. På samme måde for -8x. Vi kan sige cos(-8x + 2𝜋∙n) = -1/6. Nu tror jeg, vi kan være temmelig sikre på vi har fundet alle løsninger, når vi løser for x. I begge disse, lad os tage invers cosinus til -1/6 og løse for x. Når vi tager invers cosinus på begge sider så får vi 8x + 2𝜋∙n = cos⁻¹ (-1/6). Lad os løse for x. Vi kan trække 2𝜋∙n fra på begge sider. Vi får 8x = cos⁻¹(-1/6) - 2𝜋∙n. Det er da interessant, men fortegnet af leddet 2𝜋∙n er ikke vigtigt, da n kan være et negativt heltal. Jeg holder mig til - 2𝜋∙n. Hvis jeg vil løse for x så dividerer vi på begge sider med 8. Vi får x = 1/8 cos⁻¹ (-1/6) - (𝜋/4) n. Vi kan gøre det samme i den anden situation -- den gule situation -- hvis jeg tager invers cosinus får jeg -8x + 2𝜋∙n = cos⁻¹ (-1/6). Jeg kan trække 2𝜋∙n fra på begge sider, og jeg får -8x = cos⁻¹ (-1/6) - 2𝜋∙n. Nu kan jeg gange på begge sider med -1/8, eller dividere på begge sider med -8, og får x = -1/8 cos⁻¹ (-1/6) + (𝜋/4) n. Nu tror jeg, vi stopper denne video. Vi har fundet løsningsmængden algebraisk. Dette er hele løsningsmængden, hvis du samler de to udtryk. I en fremtidig video vil jeg udregne det med en lommeregner. og vi kan se, hvilke løsninger der passer i et givet interval.