Løsningsmængden af en cosinusligning i et givet interval

I en tidligere video fandt vi hele løsningsmængden for følgende ligning. Vi så at alle de x'er, der opfylder ligningen er en kombination af disse x'er og disse x'er. Grunden til jeg omtaler dem i flertal er fordi for hver heltals værdi af n, der får du endnu en løsning. I denne video vil jeg gøre tingene en smule mere konkrete. Det gør vi ved, at bestemme alle de værdier af x, der opfylder denne ligning i dette lukkede interval fra -𝜋/2 til 0. Jeg opfordrer dig som altid til at sætte videoen på pause og selv prøve, inden vi laver den sammen. Okay lad os lave den sammen. Det er nyttigt, at vi allerede har disse algebraiske udtryk. Men vi bruger 𝜋. Lad os afrunde dem til decimaltal. Selv 𝜋/2 kan afrundes. Hvis 𝜋 er omkring 3,14 så er det halve omkring 1,57. Vi kan sige, at det er det lukkede interval fra omkring -1,57 til 0. -1,57 er ikke præcist 𝜋/2, men forhåbentlig er det godt nok til det vi skal gøre her. Lad os se, om vi kan skrive andre dele af dette udtryk som afrundede decimaltal. Dette kan skrives som x er omkring når du udregner 1/8 cos⁻¹ (-1/6) -- jeg opfordrer dig til at tjekke det på din egen lommeregner-- så får du omkring 0,22. 𝜋/4 er omkring 0,785. Dette udtryk kan skrives som x ≈ 0,22 - 0,785∙n, hvor n er ethvert heltal. I denne her til højre -- det gør jeg med gult -- x er -- hvis dette er omkring 0,22, så er det her blot det omvendte -- er omkring -0,22 og så lægges omkring 𝜋/4 til, så 0,785∙n. Nu kan vi prøve med forskellige n'er og se, om vi er før eller efter dette interval og se, hvilke x-værdier der rent faktisk ligger i dette interval. Lad os starte her. Jeg starter med n er lig 0. Jeg tror, jeg laver en lille tabel. Vi har n her og vi har x-værdier der. Når n er 0, så er dette led væk og du får omkring 0,22. Lad os sammenligne det med intervallet. Den øvre grænse i intervallet er 0, så dette ligger ikke i intervallet. Det er for stort. Da vi skal definere x'er, der ligger i intervallet, skal vi finde nogle lavere værdier. Det er derfor godt, at vi her skal trække 0,785 fra. Jeg vil bruge en positiv værdi af n, for at gøre dette 0,22 mindre. Når n er lig 1, så trækker vi 0,785 fra. -- jeg afrunder alle disse til hundrededele -- Det giver os -0,57, som ligger i intervallet. Det ser godt. Dette er en løsning i dette interval. Lad os prøve n er lig 2. Vi trækker 0,785 fra igen og vi får -1,35. Det er også i dette interval. Det er større end -1,57, så den er god nok. Lad os trække 0,785 fra igen, når n er lig 3. Det giver os -2,14. Så er vi ude af intervallet, da vi er under den nedre grænse. Det er for småt. Ved at bruge dette udtryk har vi fundet to x-værdier i det ønskede interval. Lad os bruge disse x-værdier i en ny tabel. Vi har vores n og vores x-værdier. Lad os starte med n er lig 0, da det er nemt at udregne, da dette led forsvinder. Vi har -0,22 tilbage, som faktisk er i dette interval. Det er mindre end 0 og større end -1,57, så det passer. Nu bliver vi så nødt til at gå i begge retninger. Vi skal gøre det mindre og større. Hvis vi vil gøre det større, så kan vi have n lig med 1. Hvis n er lig 1, så lægger vi 0,785 til dette. Du ved med det samme, at det bliver en positiv værdi. Når du udregner det, er det 0,57, som er større end 0. Dette er for stort. Nu kan vi prøve at gøre det mindre end -0,22 ved at have negative værdier af n. Hvis n er lig -1, så trækker vi 0,785 fra dette og det giver os -1,01. Den er også god nok, da den er i intervallet. Lad os trække 0,785 fra igen, når n er lig -2. Når jeg trække 0,785 fra igen, så får jeg -1,79, som er mindre end -1,57. Det er udenfor intervallet. Det er for småt. Alle de x-værdier, der ligger i intervallet og opfylder denne ligning, er de to lige her og den her og denne her. Og vi er færdige.