(Algebraisk) løsningsmængde til en sinus-ligning

Formålet med denne video er at finde løsningsmængden til følgende ligning. Alle x-værdier -- vi bruger radianer -- der opfylder denne ligning. Jeg opfordrer dig til som altid at sætte videoen på pause og se, om du kan lave den selv, inden vi laver den sammen. Okay, lad os lave den sammen. Umiddelbart vil du nok korrekt mene, at vi skal isolere sin(x/4) med algebra. Det første trin vil være at trække 11 fra på begge sider. Hvis du gør det, så får du 8∙sin(x/4) = 3, da jeg har trukket 11 fra på begge sider. For at isolere sinus vil jeg nu dividere begge sider med 8 og jeg får sin(x/4) = 3/8. Inden jeg fortsætter, lad os overveje, om dette er den meste generelle løsning altså om vi finder hele løsningsmængden. Vi kan lige minde os selv om... -- lad mig lige tegne en enhedscirklen -- Min x-akse. Min y-akse. Så en cirkel. Hvis vi har en vinkel θ lige her, så ved vi, at sin(θ) er lig y-koordinaten, hvor denne radius skærer enhedscirklen. Vi ved også, hvis vi lægger et vilkårligt antal 2𝜋 til eller trækker et vilkårligt antal 2𝜋 fra, og går hele vejen rundt om enhedscirklen og er tilbage, hvor vi startede, så er sin(θ) er det samme. Vi ved at, sin(θ) + 2𝜋∙n = sin(θ). Vi kan lave dette mere generelt. I stedet for blot at sige sin(x/4) = 3/8, så kan vi skrive sin(x/4 + 2𝜋∙n) = 3/8, hvor n er et heltal. Det kan også være -1, -2 eller naturligvis 0, 1, 2, 3 og så videre. Hvis vi løser dette for x, er det så hele løsningsmængden? Vi skal måske minde os selv om, hvis dette er θ og sin(θ) er lige her, så er der et andet punkt på enhedscirklen, hvor jeg får den samme sinus. Det er lig her. y-koordinaten vil være den samme. Hvis vi starter ved 𝜋 radianer, som er lige her, og vi trækker θ fra, så får vi det samme. Denne vinkel her kan kaldes 𝜋 - θ. Du kan selv prøve for enhver θ, selv θ i anden kvadrant, tredje kvadrant eller fjerde kvadrant. Hvis du finder 𝜋 - θ, så får du den samme sinus værdi. Så vi ved også, at sin(𝜋 - θ) = sin(θ). Lad mig skrive endnu et udtryk her. Det er ikke kun sin(x/4), der er lig 3/8. Vi kan også skrive, at sin(𝜋 - x/4) = 3/8, da x/4 svarer til θ. Vi kan naturligvis også bruge det andet princip, at vi kan lægge 2𝜋 til eller trække 2𝜋 fra et vilkårligt antal gange og sinus til det vil stadig være 3/8. Det kan jeg skrives således sin(𝜋 - x/4 + 2𝜋∙n) = 3/8. Hvis jeg løser begge disse, så vil de sammen give mig hele løsningsmængden. Lad os gøre det. Lad mig tage invers sinus på begge sider. Jeg får x/4 + 2𝜋∙n = sin⁻¹ (3/8). Nu trækker jeg 2𝜋 n fra på begge sider. Jeg får x/4 = sin⁻¹ (3/8) - 2𝜋∙n. Hvis du tænker over det, fordi n kan være et hvert heltal, så betyder dette minus foran 2-tallet ikke noget. Det kan også være positivt. Lad os gange på begge sider med 4. x = 4 sin⁻¹ (3/8) - 8𝜋∙n. Hvis jeg laver den blå del her, så er det samme fremgangsmåde. Inverse sinus på begge sider og vi får 𝜋 - x/4 + 2𝜋∙n = sin⁻¹ (3/8). Jeg kan trække 𝜋 fra på begge sider og trækker 2𝜋∙n fra på begge sider og jeg får -x/4 = sin⁻¹ (3/8) - 𝜋 - 2𝜋∙n. Jeg ganger på begge sider med -4. Jeg får x = -4 sin⁻¹ (3/8) + 4𝜋 + 8𝜋∙n. Som jeg sagde før, disse vil tilsammen give os hele løsningsmængden til den oprindelige ligning.