Løsning af ligning på formen sin(x)=d

Hvilke af disse er i løsningsmængden for sin(x) = 1/3? Svaret skal afrundes til nærmeste hunderededel. Vælg alle svar, der passer. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og selv prøve at lave den. Jeg går ud fra, du nu har prøvet. Lad os se, hvad der bliver spurgt om? De spørger, hvilke x-værdier er i løsningsmængden for sin(x) = 1/3? Lad os visualisere det med en enhedscirkel. Dette er min y-akse og her er min x-akse. Det er x lig 1. Her er y lig +1. -1 på x-aksen og -1 på y-aksen. Enhedscirklen har centrum i 0 Den har en radius på 1. Lad os minde os selv om enhedscirklens definition af sinusfunktionen. Hvis vi har en vinkel, så vil den ene side af vinklen være en halvlinje langs den positive x-akse -- jeg bruger lige en farve du kan se -- langs den positive x-akse. Den anden side af vores vinkel θ. Sinus til denne vinkel er y-værdien af skæringspunktet mellem denne halvlinje med enhedscirklen. Dette er sin(θ). Efter denne gennemgang og vi antager, vi bruger radianer, hvilke x-værdier kan vi tage sinus til og få 1/3? Hvornår er y lig 1/3 på enhedscirklen? Dette er 2/3, så 1/3 er lig her. Den er lig 1/3 præcis to steder. Her og her. Der er to vinkler, for hver omgang på enhedscirklen. Vi kan lægge multipla af 2𝜋 til og få så mange løsninger som vi vil. På selve enhedscirklen har vi den vinkel. Eller vi kan gå hele vejen over til den vinkel der. Dernæst kan vi lægge multipla af 2𝜋 til disse vinkler og få andre vinker, der også ville passe. Hvis jeg tager sinus til dem, får jeg 1/3. Lad os se, hvad disse er? Vi henter lige vores lommeregner og vi tager invers sinus til 1/3. Lad os gøre det. Invers sinus til 1/3. Vi skal huske værdimængden af invers sinus. Vi får værdier mellem -𝜋/2 og 𝜋/2, altså en værdi i enten første eller fjerde kvadrant. hvis vi ser på enhedscirklen her. Den har givet os afrundet til nærmeste hundrededel 0,34. Vi har fået denne værdi, 0,34. Det er denne vinkel her. Hvordan ved jeg det? Det er en positiv værdi. Den er større end nul, men mindre end 𝜋/2. 𝜋 er 3,14, så 𝜋/2 er lig 1,57... Dette er 0,34 radianer. Men hvad er den her? Hvis vi er på den negative x-akse og vi trækker 0,34 fra, så er dette 0,34 og vi får denne vinkel. Det svarer til 𝜋 minus vores svar, afrundet til nærmeste hundredel er 2,8 radianer. Dette er 0,34 radianer og denne her i lilla den er 𝜋 - 0,34, som er 2,80 radianer afrundet til nærmeste hundrededel. Det er ikke alle værdierne. Vi kan lægge multipla af 2𝜋 til hver af disse. 2,80 plus ethvert multipla af 2𝜋, altså +2𝜋∙n, hvor n er et heltal. Eller vi kan sige 0,34 og lægge multipla af 2𝜋 til altså +2𝜋∙n, hvor n er et heltal. Vores løsningmængde er --jeg skriver, hvor der er mindre rodet -- 2,80 radianer + 2𝜋∙n, hvor n er et heltal og 0,34 + 2𝜋∙n, hvor n er et heltal. Lad os se, hvilke af disse der er en del af løsningsmængden. Vi har 0,34 + 2𝜋∙n, hvor n er et heltal. Det er præcis det vi skrev her. Ved 0,34 og hvis n er et positivt heltal, så går vi hele vejen rundt tilbage i det samme punkt. Hvis n er et negativt heltal, så er det den anden vej, men vi får det samme punkt. Det er helt sikkert i løsningsmængden. 0,34 + 𝜋∙n, hvor n er et heltal. Hvis vi er ved 0,34 og lægger 𝜋 ikke 2𝜋, hvor kommer vi så hen? Vi kommer lige her. Sinus af dette er ikke +1/3. Det er -1/3. Vi kan se bort fra den. -0,34 det er denne vinkel her. Sinus til den er -1/3. Hvis du lægger multipla af 2𝜋 til, så får du stadig -1/3. Den passer ikke. Det samme med den her. 2,8 + 2𝜋∙n, det skrev vi her. Hele vejen over til 2,8 og ethvert multipla 2𝜋 og du er tilbage i det samme punkt. Den passer. 2,8 + 𝜋∙n. Hvis du er her og lægger 𝜋 til, så kommer du herhen og sinus til det er ikke +1/3. Det bliver -1/3. Vi kan også se bort fra den. Disse er de eneste to, der passer. Du kan faktisk sætte dem sammen og du har hele løsningsmængden til denne ligning lige her.