If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Brug af additionsformlerne: omskrivning af udtryk

Sal starter med cos(2θ)=C og bruger dobbeltvinkelformlen for cosinus til at skrive et udtryk for sin(θ). Lavet af Sal Khan.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Video udskrift

cos(2θ) = C og θ ligger mellem 0 og 𝜋. Skriv en formel for sin(θ) udtrykt med C. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og se, om du selv kan lave den, inden jeg går i gang. Jeg antager, at du selv har prøvet, så lad os se, om vi kan lave den sammen. Jeg henter min scratchpad, hvor jeg har copy-pasted opgaven. Lad os se på den. De fortæller os, at cos(2θ) = C. Lad mig skrive det således C = cos(2θ). Med min viden om additionsformlerne, så ved vi, at cos(⍺+β) = cos(⍺)∙cos(β) - sin(⍺)∙sin(β). Hvorfor er det nyttigt her? Dette er summen af θ+θ, så jeg kan omskrive dette, så det er udtrykt med cosinus og sinus. Måske dernæst omskrive cosinus, så det er udtrykt med sinus og dernæst løse for sinus. Lad os prøve at gøre det. Jeg kan omskrive cos(2θ) til cos(θ+θ). Nu kan jeg bruge additionsformlen for cosinus. Det er lig cos(θ)∙cos(θ) - sin(θ)∙sin(θ) som er lig cos² (θ) - sin² (θ). Vi har nu omskrevet C, så det er udtrykt med cos² (θ) og sin² (θ) . Men vi vil have det udtrykt kun med sin(θ), så vi kan løse for sin(θ). Hvis vi kan omskrive cos(θ), så det er udtrykt med sinus. Vi kender grundrelationen, der siger at, cos²(θ) + sin²(θ) = 1. Eller vi kan sige, at cos²(θ) er lig -- jeg trækker sin²(θ) fra på begge sider -- er lig 1 - sin²(θ). Lad mig omskrive dette til 1 - sin²(θ) - sin²(θ), som er lig C. Eller vi kan sige, at C = 1 - 2sin²(θ). Det er jo vældig godt, da vi nu blot skal løse for sin(θ). Hvis jeg ganger på begge sider med noget negativt, så jeg kan bygge rundt på rækkefølgen. Jeg kan skrive det som -C = 2sin(θ) - 1, da jeg lige har gange med -1. Nu kan jeg lægge 1 til på begge sider, så får jeg, at 1 - C = 2sin²(θ) Nu kan jeg dividere begge sider med 2, og så får jeg sin²(θ) = (1 - C)/2. eller jeg kan skrive, at sin(θ) = ± kvadratrod (1 - C)/2. Men nu er spørgsmålet, er det begge dele? Er det plus og minus kvadratrod? Eller er det kun en af dem? Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause, hvis du ikke allerede ved det, og kigge på disse oplysninger for at se, om vi er givet oplysninger om hvorvidt vi skal bruge den positive eller negative sinus. De siger her, at θ skal være mellem 0 og 𝜋. Hvis jeg tegner en enhedscirkel og finder 0 og 𝜋 radianer. Denne vinkel er 0 radianer og 𝜋 er hele vejen herover. Så vinklen skal ligge i enten første eller anden kvadrant. Det kan være denne vinkel, det kan være denne vinkel, men det kan ikke være denne vinkel. Vi ved, at sinus til en vinkel er y-koordinaten, og i første og anden kvadrant er y-koordinaten ikke negativ. Så vi skal bruge den positive kvadratrod. Vi får, at sin(θ) = √(1 - C)/2. Lad os gå tilbage og tjekke vores svar. sin(θ) = √(1 - C)/2. og vi fik det rigtigt.