Hovedindhold
Emne: (Opvarmning til Infinitesimalregning > Emne 2
Modul 10: Trigonometriske formler- Brug af additionsformlen for sinus
- Brug af additionsformel for tangens
- Bestem trigonometriske værdier med additionsformlerne
- Brug af additionsformler: sidelængde
- Brug af additionsformlerne: omskrivning af udtryk
- Trigonometriske formler
- Oversigt over trigonometriske formler
- Trigonometri
© 2024 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse
Brug af additionsformlerne: omskrivning af udtryk
Sal starter med cos(2θ)=C og bruger dobbeltvinkelformlen for cosinus til at skrive et udtryk for sin(θ). Lavet af Sal Khan.
Vil du deltage i samtalen?
Ingen opslag endnu.
Video udskrift
cos(2θ) = C og θ ligger mellem 0 og 𝜋. Skriv en formel for sin(θ) udtrykt med C. Jeg opfordrer dig til at
sætte videoen på pause og se, om du selv kan lave den, inden jeg går i gang. Jeg antager, at du selv har prøvet, så lad os se, om vi kan lave den sammen. Jeg henter min scratchpad, hvor jeg har copy-pasted opgaven. Lad os se på den. De fortæller os, at cos(2θ) = C. Lad mig skrive det således C = cos(2θ). Med min viden om additionsformlerne, så ved vi,
at cos(⍺+β) = cos(⍺)∙cos(β) - sin(⍺)∙sin(β). Hvorfor er det nyttigt her? Dette er summen af θ+θ, så jeg kan omskrive dette, så det er udtrykt med cosinus og sinus. Måske dernæst omskrive cosinus,
så det er udtrykt med sinus og dernæst løse for sinus. Lad os prøve at gøre det. Jeg kan omskrive cos(2θ) til cos(θ+θ). Nu kan jeg bruge
additionsformlen for cosinus. Det er lig cos(θ)∙cos(θ) - sin(θ)∙sin(θ) som er lig cos² (θ) - sin² (θ). Vi har nu omskrevet C, så det er
udtrykt med cos² (θ) og sin² (θ) . Men vi vil have det
udtrykt kun med sin(θ), så vi kan løse for sin(θ). Hvis vi kan omskrive cos(θ),
så det er udtrykt med sinus. Vi kender grundrelationen, der siger at,
cos²(θ) + sin²(θ) = 1. Eller vi kan sige,
at cos²(θ) er lig -- jeg trækker sin²(θ) fra
på begge sider -- er lig 1 - sin²(θ). Lad mig omskrive dette til 1 - sin²(θ) - sin²(θ), som er lig C. Eller vi kan sige, at C = 1 - 2sin²(θ). Det er jo vældig godt,
da vi nu blot skal løse for sin(θ). Hvis jeg ganger på begge sider
med noget negativt, så jeg kan bygge rundt på rækkefølgen. Jeg kan skrive det som -C = 2sin(θ) - 1, da jeg lige har gange med -1. Nu kan jeg lægge 1 til på begge sider, så får jeg, at 1 - C = 2sin²(θ) Nu kan jeg dividere begge sider med 2, og så får jeg sin²(θ) = (1 - C)/2. eller jeg kan skrive, at
sin(θ) = ± kvadratrod (1 - C)/2. Men nu er spørgsmålet, er det begge dele? Er det plus og minus kvadratrod? Eller er det kun en af dem? Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på
pause, hvis du ikke allerede ved det, og kigge på disse oplysninger for at se,
om vi er givet oplysninger om hvorvidt vi skal bruge den
positive eller negative sinus. De siger her,
at θ skal være mellem 0 og 𝜋. Hvis jeg tegner en enhedscirkel
og finder 0 og 𝜋 radianer. Denne vinkel er 0 radianer og 𝜋 er hele vejen herover. Så vinklen skal ligge i enten
første eller anden kvadrant. Det kan være denne vinkel, det kan være denne vinkel, men det kan ikke være denne vinkel. Vi ved, at sinus til en vinkel
er y-koordinaten, og i første og anden kvadrant
er y-koordinaten ikke negativ. Så vi skal bruge den positive kvadratrod. Vi får, at sin(θ) = √(1 - C)/2. Lad os gå tilbage og tjekke vores svar. sin(θ) = √(1 - C)/2. og vi fik det rigtigt.