Trigonometriske formler

Lad os lave nogle eksempler på reducering af trigonometriske udtryk. Lad os sige, jeg har (1 - sin²(θ) )∙cos²(θ). Hvordan reducerer jeg det? Vi kender grundrelationen, som udledes direkte af enhedscirklen. Den siger, at cos²(θ) + sin²(θ) = 1. Når vi trækker sin²(θ) fra på begge sider så får vi cos²(θ) = 1 - sin²(θ) Nu kan vi gøre to ting. Vi kan enten erstatte 1 - sin²(θ) med cos²(θ) eller vi kan erstatte cos²(θ) med 1 - sin²(θ) . Jeg foretrækker at gøre det første, da dette er et mere indviklede udtryk. Hvis jeg erstatter dette med cos²(θ), så tror jeg det bliver reduceret Lad os se. Dette bliver cos²(θ)∙cos²(θ). Alt dette er reduceret til cos(θ)∙cos(θ)∙cos(θ)∙cos(θ). Det bliver altså blot cos⁴(θ). Lad os lave et andet eksempel. Lad os sige, vi har sin²(θ) / (1 - sin²(θ)). Hvad kan det blive lig med? Vi ved allerede, at 1 - sin²(θ) er det samme som cos²(θ) . Så dette er sin²(θ)/cos²(θ) . Dette er det samme som (sin(θ)/cos(θ))² Hvad er sinus over cosinus? Det er tangens. Så dette er lig tan²(θ). Lad os lave et eksempel mere. Lad os sige, vi har cos²(θ) + 1 + sin²(θ). Hvad er det lig med? Nu er du nok fristet til, især når jeg har brugt farverne således, til at sige er der ikke en formel for 1 + sin²(θ) ? Her skal vi altså blot flytte rundt på det, og med enhedscirklens definition ved jeg, hvad cos²(θ) + sin²(θ) er. cos²(θ) + sin²(θ) for enhver θ er lig 1. Så dette bliver 1 + 1 så det er lig 2.