Eksempel med kombinationer: 9 kort på hånden

.. I et kortspil anvendes 36 unikke kort, 4 kulører, ruder, hjerte, klør og spar med kortene fra 1 til 9 i hver kulør En hånd vælges En hånd er en samling af 9 kort, som kan sorteres som spilleren vil . Hvor mange hænder af 9 kort er mulige ? Lad os overveje det. Der er 36 unikke kort ... Der er 9 tal i hver kulør. og der er 4 kulører, 4 gange 9 er 36 Men lad os tænke over kortene som værende fra 1 til 36 og vi skal udvælge 9 af dem Så det første jeg vil påpege er ... jeg har 9 pladser i min hånd, ikke ? 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Ikke? Jeg vælger 9 kort ud til min hånd Så for det første kort, hvor mange mulige kort kan jeg vælge fra? Ok, så der er 36 unikke kort så for den 1 plads er der 36 Så nu er det en del af min hånd for den anden plads, hvor mange kort vil der være at vælge fra? Da vi allerede har valgt et, så vil der kun være 35 kort at vælge fra Og for den 3 plads er der 34 og så fremdeles Så er der 33 at vælge fra, 32,31,30,29 og 28. Så vi kan sige der er 36 gange 35 gange 34 gange 33 gange 32 gange 31 gange 30 gange 29 gange 28 mulige hænder Ok, dette ville være sandt hvis rækkefølgen havde betydning Dette ville være sandt, hvis .... .... Hvis jeg havde spar 9 her og en række efterfølgende kort Det er så en hånd .. som har kort 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8. jeg har 8 andre kort. Og i en anden hånd har jeg 8 kort 1,2,3 4,5,6,7,8 og så har jeg spar 9 som det sidste. Hvis vi tænker på dette som 2 forskellige hænder fordi selvom vi har de eksakt samme kort er de i en anden rækkefølge(permutation), så ville min beregning give mening, fordi den var baseret på rækkefølgen Men vi får at vide at kortene kan sorteres som spilleren ønsker, så rækkefølgen er uden betydning. Så vores udregning er for høj Vi inkluderer samtlige ombytninger(permutationer) af rækkefølgen der kan dannes fra de samme kort Så for at vores udregning ikke skal være for høj er vi nødt til at dividere med antallet af gange 9 kort kan arrangeres Så vi er nødt til at dividere resultatet med antallet af gange 9 kort kan arrangeres Så på hvor mange måder kan 9 kort arrangeres? Hvis jeg har 9 kort, og jeg skal udvælge 1 af de 9 kort på den 1.plads, så betyder det jeg har 9 mulige kort at lægge på den 1. plads Og for den 2. plads kan jeg lægge 8 mulige kort da jeg lagde et af kortene på den 1. plads, så jeg har 8 tilbage derefter 7 så 6 så 5 så 4 så 3 så 2 så 1 For den sidste plads er der kun 1 kort tilbage der kan lægges Så dette tal her hvor man siger 9 gange 8 gange 7 gange 6 gange 5 gange 4 gange 3 gange 2 gange 1 .... eller vi kan starte med 9 og gange med alle positive heltal mindre end 9. Man kan vel sige hvert naturligt tal mindre end 9 (0 undtaget) Dette kaldes 9 fakultet, og man noterer det med et udråbstegn. Så hvis vi overvejer alle de forskellige måder .... ... alle de forskellige "kombinationer" der kan dannes for hænder af 9 kort, så er dette antallet af hænder hvis vi tillægger rækkefølgen betydning, men vi ønsker at dividere dette med antaller af måder vi kan arrangere kortene på, så vores udregning ikke er for høj Og dette vil være et svar og dette vil være det korrekte svar. Dette er et meget stort tal Lad os regne på hvor stort dette tal er Vi har 36 ..... gange 35 gange 34 gange 33 gange 32 gange 31 gange 30 gange 29 gange 28 divideret med 9 ... Jeg anvender parenteser ... divideret med .. (parentes begyndt) 9 gange 8 gange 7 gange 6 gange 5 gange 4 gange 3 gange gange 2 gange 1 Lad os se hvad lommeregneren siger Og vi fik tallet 94.143.280 Lad mig flytte lommeregneren så i kan læse det Så dette tal lige her gav os 94.143.280 Så det er løsningen på vores problem Der er 94.143.280 mulige hænder af 9 kort i denne situation Okay, vi har arbejdet os igennem det Vi ræsonnerede os igennem det Der er en formel der gør nøjagtig den samme ting Og den måde det betegnes på er: Vi har en mængde af 36 elementer, og vi ønsker at udtrække 9 elementer ikke? Og vi er tillægger ikke rækkefølgen betydning, så dette skrives sommetider binomialkoefficient ... n over k Lad mig skrive det sådan Så hvad gjorde vi her Vi havde 36 elementer Vi valgte 9 Så denne tæller her, det er 36 fakultet Men 36 fakultet fortsætter ned til 27, 26, 25 og så fremdeles Men vi stoppede 9 pladser væk fra 36 Så det er 36 fakultet, det er denne del her denne del er ikke bare 36 fakultet Det er 36 fakultet divideret med (36 minus 9) fakultet Hvad er 36 minus 9? Det er 27 Så 27 fakultet, lad os tænke over det .. 36 fakultet, det er 36 gange 35 .. og videre til 28 gange 27 og så fremdeles frem til 1 Det er 36 fakultet Ok hvad er 36 minus 9 fakultet, det er 27 fakultet Så når vi dividerer med 27 fakultet ... 27 fakultet er 27 gange 26 hele vejen ned til 1 ... så dette og dette er den samme ting det er 27 gange 26 som går ud imod hinanden Så når man dividerer 36 fakultet med (36 minus 9) fakultet så får man produktet af de største 9 tal af 36 fakultet Hvilket er præcis det vi har her Så det er det Og så dividerede vi med 9 fakultet . Og dette her kaldes binomialkoefficienten af 36 over 9 og sommetider vil du se formlen skrevet sådan her binomialkoefficienten af n over k Og formlen skrives som n fakultet over (n minus k) fakultet og i nævneren ganges der med k fakultet Og dette er en generel formel, at hvis du har en mængde af n elementer og du ønsker at finde alle de måder hvorpå du kan udvælge k elementer fra n-element mængden and rækkefølgen ikke tillægges en betydning. Det eneste vi interesserer os for er k udplukkene og ikke rækkefølgen af de udtagede k udpluk Så det er hvad vi har gjort her