If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold
Aktuel tid:0:00Samlet varighed:10:51

Video udskrift

.. I et kortspil anvendes 36 unikke kort, 4 kulører, ruder, hjerter, klør og spar, hvor kortene er nummereret fra 1 til 9 i hver kulør. Så der er 4 kulører. Hver af dem består af 9 kort, så det giver os 36 unikke kort. En hånd består af 9 kort, som kan sorteres som spilleren ønsker. Så vi får fortalt at rækkefølgen ikke tillægges betydning Hvad er sandsynligheden for at få alle 4 ettere ? Så vi ønsker at vide sandsynligheden for at få alle 4 ettere. Så alle 4 ettere i min ni-kort hånd. Ok, det kan virke lidt udfordrende til at starte med ... Jeg har 9 kort, og de er taget ud fra 36 kort og jeg skal finde ud af hvordan jeg får alle etterne. Men hvis vi tænker over det på en simpel måde, så er det sandsynligheden for antallet af udfald eller man kan sige antallet af måder som denne hændelse(4 ettere) sker på Så det er hvad vores definition på sandsynligheden er. Det bliver antallet af måder, hvorpå hændelsen kan ske og når vi snakker om hændelsen, snakker vi om at have alle 4 ettere i vores hånd Det er hændelsen. Og samtlige udfald kaldes for udfaldsrummet. Men vi er nødt til at tælle det antal gange, når jeg vælger 9 kort til en hånd ud af 36, at jeg får 4 ettere i hånden. Så det er antallet af måder min hændelse kan indtræffe på og det ønsker vi at dividere med alle mulighederne eller måske skulle vi skrive det sådan her .. det totale antal af hænder jeg kan få Det totale antal hænder. Så tælleren i blå er antallet af forskellige hænder indeholdende 4 ettere, og vi dividerer med det totale antal af hænder Så lad os regne ud hvad det totale antal af hænder er først, da det på et eller andet niveau er det mere intuitivt og vi har faktisk gjort dette før Ok, det totale antal hænder når vi vælger 9 kort Og vi vælger dem fra et sæt af 36 unikke kort Og vi har gjort det her mange gange. Lad os skrive det ned, det totale antal hænder eller totale antal af mulige hænder Det er lig med .... vi kan forestille os at vi har 9 kort at vælge fra. Så det første kort vi vælger, vil være 1 ud af 36 kort Det næste kort vil være 1 ud af 35 kort Det næste bliver 1 ud af 34, så 33, så 32, så 31 og så fremdeles Dette gør vi 9 gange, 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8 og 9 Så det her ville være det totale antal af hænder, hvis rækkefølgen tillægges betydning Men vi ved fra tidligere gange, at vi ikke tillægger rækkefølgen betydning Det eneste vi bekymrer os om er, om kortene er der. Så vores tal er for stort Vi medregner alle de forskellige ombytninger (af rækkefølgen) som de her kort danner. Det betyder ikke noget hvorvidt rudes es er det først kort vi vælger eller det sidste kort vi vælger Den måde vi har talt op på gør, at vi inkluderer de her som 2 separate hænder Men det er ikke 2 separate hænder så rækkefølgen betyder ikke noget Så det vi skal gøre, er at dividere med antallet af måder 9 kort kan arrangeres Så man kan placere 9 kort på den første plads så 8 i den anden, 7 i den trejde og så fremdeles Det bliver 9 fakultet .... Og vi har set det her mange gange Det er binomialkoefficienten 36 over 9. Det her udtryk her er det samme ... så vi kan relatere dette til formlerne i kombinatorik, som du måske er bekendt med ... det er det samme som 36 fakultet over (36 minus 9) fakultet .... det er hvad den orange del herovre er ... divideret med 9 fakultet. Det grønne her svarer til det grønne her og det orange her til det orange her Så det er det totale antal(kombinationer) af hænder Ok en mere nuanceret overvejelse er, hvordan vi finder ud af antallet af måder, som hændelsen kan ske, i hvilken vi har alle 4 ettere. Så lad os finde ud af det. Så antallet af måder ... eller måske skal vi sige ... antallet af hænder med 4 ettere ... Og bare som et lille tankeeksperiment lad os forstille os at vi kun tager 4 kort, hvis en hånd kun består af 4 kort. Så hvis en hånd kun har 4 kort så vil antallet af måder at få en hånd bestående af 4 ettere kun være 1 altså 1 kombination. Vi ville bare have 4 ettere Det er den eneste kombination af 4 ettere, hvis vi kun vælger 4 kort. Men her, vælger vi ikke kun 4 kort 4 af kortene er ettere 1,2,3,4 Men de resterende 5 kort er forskellige så 1,2,3,4,5 Så for de resterende 5 kort, hvis vi forestiller os denne plads og tager i betragtning, at af de 36 kort har vi allerede valgt 4 af dem for at tilfredsstille betingelsen 4 ettere. Ok, vi har brugt 4 af dem, så der er 32 mulige kort over i denne plads af hånden Og der vil være 31 i denne plads Og der vil være 30 fordi hver gang vi vælger et kort, lægges det tilside Og nu har vi kun 30 kort at vælge fra Og nu har vi kun 29 kort at vælge fra Og så har vi 28 kort at vælge fra Og ligesom vi gjorde før, tillægger vi ikke rækkefølgen betydning Vi er ligeglade med om klør 5 vælges først eller om vi vælger klør 5 til sidst. Så vi tæller ikke dobbelt. Så vi er nødt til at dividere med antallet af måder, som 5 kort kan arrangeres på. Så vi dividerer det her med antallet af forskellige måder, som 5 kort kan arrangeres på. Det første kort eller den første plads kan være hvilket som helst af de 5 kort, dernæst 4 kort, så 3 kort, så 2 kort og så 1 kort Så antallet af hænder med 4 ettere i er faktisk bare det her tal Vi kigger faktisk på antallet af måder vi kan fylde de resterende kortpladser op på De her 4 ettere bliver bare 4 ettere. Der er kun en måde, at få det på, hvis de resterende kort giver alle de forskellige kombinationer af at have 4 ettere Så det her vil være antallet af alle de forskellige kombinationer fordi alle de forskellige ekstra hænder vi har vil alle være de forskellige hænder Ok så nu ved vi antallet af hænder med 4 ettere er det her tal. Og vi ved vi skal dividere med det totale antal af mulige hænder Og vi har valgt ikke at gange det ud så vi kan reducere senere. Så lad os gøre det. Lad os tage det her og dividere med det her. Så lad mig klippe og klistre .. Vi tager det her og lad os dividere med det her. Når man dividerer med en brøk er det det samme som at gange med den omvendte. Så lad os gange med den omvendte. Så lad os gange, det her er nævneren. Det her er tælleren. Så lad os klippe og klistre Så det her er tælleren og det her er nævneren herhenne Fordi vi dividerer med det her udtryk Så lad os se .. ups Lad os sætte det her Vi kopierer det her, så vi sikrer os, at vi vælger alle numrene Lad os kopiere og klistre her Det er lidt rodet med de her linjer, men det skal nok gå. ... Så når vi ganger her, så dividerer vi med udtrykket her Ok, vi kan reducere udtrykket let Vi har .... Vi har lige glemt en ting ... det her skal være 9 fakultet. Det her skulle være 9 gange 8 gange 7 gange 6 gange 5 gange 4 gange 3 gange 2 gange 1. Lad mig lige rette det begge steder Vi fjerner lige udtrykket begge steder. Sådan. Så undgår vi forvirring Sådan. Beklager forvirringen med det tidligere skrevne Det her skal være 9 fakultet. 9 gange 8 gange 7 gange 6 gange 5 gange 4 gange 3 gange 2 gange 1 Lad os klippe og klistre klippe og så klistrer vi. Sådan, så har vi det. Og så har vi i tælleren. Vi har 5 gange 4 gange 3 gange 2 gange 1 i nævneren Så det her går ud med det her Og så har vi 32 gange 31 gange 30 gange 29 gange 28 Det går ud med det her .. Så det vi står tilbage med er bare denne del her. Lad os omskrive det. Så vi står tilbage med 9 gange 8 gange 7 gange 6 over .. og det vil bare være en øvelse i reducere det her udtryk 36 gange 35 gange 34 gange 33 Og lad os se, hvis vi dividerer tælleren og nævneren med 9, så bliver det 1, det her bliver 4 Vi kan dividere tælleren og nævnere med 4 så det bliver 2. Det her bliver 1. Vi dividerer tælleren og nævnere med 7, dette bliver 1 og dette bliver 5. Vi kan dividere med 2 igen og det her bliver 1 Det her bliver 17 Og vi kan dividere i tæller og nævner med 3 Det her bliver 2, og det her bliver 11. Så vi står tilbage med sandsynligheden for (hændelsen) at have 4 ettere i min hånd af 9 kort, når jeg vælger fra 36 unikke kort er lig med ... i tælleren står vi tilbage med det her gange 2 gange 1 gange 1 gange 1 .. så det er lige med 2 over 5 gange 17 gange 11 Og det er ... 5 gange 17 gange 11 er lig med 935 Så det er lig med 2 over 935 Så det er cirka 2 tusinde dele chance eller 1 ud af 500 ... cirka, det er ikke eksakt .... så man har groft sagt en chance ud af 500 for at få alle 4 ettere i en hånd af 9 kort når man vælger fra 36 unikke kort ...