Oversigt over trigonometriske formler

Flyt prikken rundt på enhedscirklen og se, hvordan cosinus og sekans begge ændres. Bemærk, når cosinus er lille, så er sekans stor og omvendt. Det viser sig, at deres produkt altid er præcis $1$‍.

Vi kan også vise denne sammenhæng med ligedannede trekanter. Træk i prikken under grafen og se, hvordan den ene trekant transformeres til den anden. Kig nøje efter og find de tilsvarende sider.

Flyt prikken rundt på enhedscirklen og se, hvordan sinus og cosekans begge ændres. Bemærk, når sinus er lille, så er cosekans stor og omvendt. Det viser sig, at deres produkt altid er præcis $1$‍.

Vi kan også vise denne sammenhæng med ligedannede trekanter. Træk i prikken under grafen og se, hvordan den ene trekant transformeres til den anden. Kig nøje efter og find de tilsvarende sider.

Flyt prikken rundt på enhedscirklen og se, hvordan tangens og cotangens begge ændres. Bemærk, når tangens er lille, så er cotangens stor og omvendt. Det viser sig, at deres produkt altid er præcis $1$‍.

Vi kan også vise denne sammenhæng med ligedannede trekanter. Træk i prikken under grafen og se, hvordan den ene trekant transformeres til den anden. Kig nøje efter og find de tilsvarende sider.

Vi kan vise denne sammenhæng med ligedannede trekanter. Træk i prikken under grafen og se, hvordan den ene trekant transformeres til den anden. Kig nøje efter og find de tilsvarende sider.

Vi kan vise denne sammenhæng med ligedannede trekanter. Træk i prikken under grafen og se, hvordan den ene trekant transformeres til den anden. Kig nøje efter og find de tilsvarende sider.

Denne formel udledes ved at bruge Pythagoras' læresætning på trekanten nedenfor.

Denne formel udledes ved at bruge Pythagoras' læresætning på trekanten nedenfor.

Denne formel udledes ved at bruge Pythagoras' læresætning på trekanten nedenfor.

Figuren nedenfor er en måde at bevise additionsformlerne. Da venstre og højre side af rektanglet er ens, får vi:

Den øverste og nederste side er også ens:

Det er nemmest af forstå figuren, hvis du starter med den retvinklet trekant i midten og arbejder dig udad ved at bruge definitionerne for de trigonometriske funktioner ("mod hos modhos").

En tilsvarende figur kan bruges til at udlede additionsformlerne for en differens. Kan du tegne den?

(Det er egentlig ikke et bevis for alle mulige værdier af $\theta$‍ og $\varphi$‍, men formlerne kan bruges for alle værdier.)

Vi kan udelede formlen for tangens af en sum ved at bruge additionsformlerne for sinus og cosinus.

Vi kan finde differensen mellem to vinkler ved at lægge en negativ vinkel til.

Vi kan udlede denne formel ved at bruge additionsformlen for sinus for to ens vinkler.

Vi kan også udlede denne fra additionsformlen for en sum, men vi skal lave lidt flere omskrivinger.

Lad os først lave begge vinkler ens.

Dernæst kan vi bruge grundrelationen ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$‍, hvor vi isolerer sinus og indsætter

Denne udledes ligeledes af en additionsformel.

Vi kan udlede disse ved at tage dobbeltvinkelformlerne og erstatte følgende

Hvorefter vi laver nogle omskrivninger.

For eksempel:

bliver til...

Hvorefter vi løser for $\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$‍. Prøv selv og se, om du kan udlede de andre formler.

Vi kan se dette ved at kigge på en enhedscirkel.

Vi kan se dette ved at kigge på en enhedscirkel.

Denne er lidt sværere at se på en enhedscirkel, men vi kan udlede den ved at skrive tangens udtrykt med sinus og cosinus og dernæst bruge overgansformler for sinus og cosinus.

Så,

Alle disse formler ser ens ud!

Disse formler er nemmere at forstå, når man opdager at ændringen fra $\theta$‍ til ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta$‍ svarer til en spejling i linjen $y=x$‍.

Diagrammet nedenfor forsøger at vise sammenhængen mellem vinklerne samt, at $\sin \theta =\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )$‍. Det samme gælder for de andre funktions-par, hvilket giver de øvrige formler.