If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Brug af additionsformlen for sinus

Sal bestemmer værdien af sin(7π/12) ved at omskrive det til sin(π/3+π/4) og dernæst bruge additionsformlen for sinus. Lavet af Sal Khan.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Video udskrift

I denne video vil jeg forsøge at finde ud af, hvad sin(7𝜋/12) er uden at bruge en lommeregner. Lad os visualisere 7𝜋/12 på enhedscirklen. Den ene side af vinklen går langs den positive x-akse og hvis vi går lige op, så er det 𝜋/2, som er det samme som 6𝜋/12. Vi skal gå yderligere 𝜋/12, som er lige der. Det er denne vinkel vi snakker om. Det er 7𝜋/12 radianer. Med enhedscirklens definition af sinus, svarer sinus til y-koordinaten af retningspunktet. Dette er enhedscirklen med en radius på 1. Retningspunktet er her og y-koordinaten er sinus. Eller man kan sige, det er længden af denne linje. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og tænke over det. Se om du kan bruge dine trigonometriske evner til at bestemme sin(7𝜋/12) eller længden af denne magenta linje. Jeg går ud fra du selv har prøvet, og hvis du tænker som jeg, så var du først fristet til at fokusere på denne trekant som jeg tegnede for dig. Trekanten ser således ud. Du skal bestemme længden af denne side, som svarer til sin(7𝜋/12). Vi ved, at længden af hypotenusen er 1. Det er radius af enhedscirklen. Det er en retvinklet trekant. Vi kender også denne vinkel. Det er denne vinkel, hvor den her er 6𝜋/12. og vi har yderligere 𝜋/12. Den her er derfor 𝜋/12, ikke 𝜋/16. Vi ved, at denne vinkel er 𝜋/12. Med disse oplysninger kan vi skrive nogle forhold mellem denne side og de andre sider ved at bruge trig funktioner. I forhold til denne vinkel er det den hosliggende side. cos(𝜋/12) er den magenta side over 1, eller du kan sige, at den magenta side cos(𝜋/12). Vi har lige fundet ud af, at sin(7𝜋/12) er det samme som cos(𝜋/12), men det hjælper os ikke. Jeg ved ikke lige, hvad cos(𝜋/12) er uden en lommeregner. Lad os derfor gribe det an på en anden måde. Lad os se, om vi kan opdele denne vinkel i nogle vinkler, hvor vi kender sinus og cosinus. Hvilke vinkler? Det er vinklerne i de særlige retvinklede trekanter. For eksempel så kender vi 30-60-90 trekanter. 30-60-90 trekanter ser således ud. Det er mit bedste bud på at tegne den. I stedet for at skrive 30°, da vi her bruger radianer, så er det 𝜋/6 radianer. 60° kan skrives som 𝜋/3 radianer og så er der den rette vinkel. Hvis hypotenusen er 1, så er den modstående side til 30-graders vinklen eller 𝜋/6 radianer lig det halve af hypotenusen, så det er 1/2. Den anden side, der er modstående til 60-grader vinklen eller 𝜋/3 radianer er kvadratroden af 3 gange den korte side, så det bliver √3 / 2. Vi har brugt disse trekanter tidligere for at bestemme sinus eller cosinus til 30° eller 60°, eller som her 𝜋/6 eller 𝜋/3. Vi kender altså 𝜋/6 og 𝜋/3. Vi kender også til 45-45-90 trekanter. Vi ved, at de er ligebenede retvinklede trekanter. De ser således ud. Mit bedste bud på at tegne en. Det ligner slet ikke en ligebenet trekant, måske jeg kan lave den lidt bedre. Det ligner lidt mere en ligebenet retvinklet trekant. Vi ved, at længden af hypotenusen er 1, Ved at bruge Pythagoras' læresætning, så er længden af begge de andre sider kvadratrod 2 over 2. I stedet for at mærke disse som 45-graders vinkler så ved vi, at det er det samme som 𝜋/4 radianer. Hvis du giver mig 𝜋/6, 𝜋/3, 𝜋/4, så kan jeg bruge disse trekanter og enten med den klassiske definition "Mod Hos ModHos" eller jeg kan afbilde dem på enhedscirklen og bruge enhedscirklens definition til at bestemme, hvad sinus, cosinus eller tangens til disse vinkler er. Kan jeg opdele 7𝜋/12 til en kombination af 𝜋/6, 𝜋/3 eller 𝜋/4? Tænk over det. Lad mig omskrive 𝜋/6, 𝜋/3 eller 𝜋/4, så de får en nævner på 12. Lad mig skrive det. 𝜋/6 er lig 2𝜋/12, 𝜋/3 er lig 4𝜋/12 og 𝜋/4 er lig 3𝜋/12. Lad os se. 2 + 4 er ikke 7. 2 + 3 er ikke 7, men 4 + 3 er 7. Så vi kan bruge den og den. 4𝜋/12 + 3𝜋/12 er 7𝜋/12. Jeg kan omskrive dette. Det er det samme som sin(4𝜋/12 + 3𝜋/12), som naturligvis er det samme som sin(𝜋/4 + 𝜋/3). Nu kan vi bruge additionsformlen for sinus og skrive det som en sum af produkterne af cosinus og sinus til disse vinkler. Lad os gøre det. Det bliver lig med sin(𝜋/4)cos(𝜋/3) + cos(𝜋/4)sin(𝜋/3) Nu skal vi blot bestemme disse og jeg har allerede lavet trekanterne. Hvad er sin(𝜋/4)? Lad os tænke lidt. Den her er 𝜋/4. Sinus er modstående over hypotenusen. Så det er kvadratrod 2 over 2. Dette er √2 / 2 Hvad er cos(𝜋/3)? Den her er 𝜋/3 radianer. Cosinus er hosliggende over hypotenusen, så det bliver 1/2. Hvad er cos(𝜋/4)? Tilbage til 𝜋/4 og det er hosliggende over hypotenuse. Det er √2 / 2. Dette er også √2 / 2. Hvad er sin(𝜋/3)? Sinus er modstående over hypotenuse, så √3 / 2 over 1, som blot er √3 / 2. Nu skal vi blot have reduceret alt dette halløj. Produktet af disse er √2 / 4 plus produktet af disse. Lad os se. Vi kan omskrive det til √6 / 4. Nu kan omskrive dette til -- nu fortjener vi vist en trommesolo -- Det er lig med -- lad mig lige gå lidt nedad -- Det er lig (√2 + √6) / 4. Det er hvad sin(7𝜋/12) eller cos(𝜋/12) er lig med.