Hovedindhold

Emne: (Trigonometri > Emne 3

Modul 3: Opgaver med vilkårlige trekanter

Sinus- og cosinusrelationerne: gennemgang

Gennemgå sinus- og cosinusrelationerne og brug dem til at løse opgaver i en vilkårlig trekant.

Sinusrelationerne

\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}

Cosinusrelationerne

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ)

Vil du lære mere om sinusrelationerne? Tjek denne video.
Vil du lære mere om cosinusrelationerne? Tjek denne video.

Øvelse 1: Brug af sinusrelationerne

Denne sætning er nyttig, når du kender en vinkel og to sider og kan udregne en vinkel eller du kender to vinkler og en side og kan udregne en side.

Eksempel 1: Find en manglende side

Lad os finde

A C

i følgende trekant:

I følge sinusrelationerne er

\frac{A B}{\sin (∠ C)} = \frac{A C}{\sin (∠ B)}

. Nu kan vi indsætte de givne værdier:

\begin{aligned} \frac{A B}{\sin (∠ C)} & = \frac{A C}{\sin (∠ B)} \\ \frac{5}{\sin (33^{\circ})} & = \frac{A C}{\sin (67^{\circ})} \\ \frac{5 \sin (67^{\circ})}{\sin (33^{\circ})} & = A C \\ 8, 45 & \approx A C \end{aligned}

Eksempel 2: Find en manglende vinkel

Lad os finde

∠ A

i følgende trekant:

I følge sinusrelationerne er

\frac{B C}{\sin (∠ A)} = \frac{A B}{\sin (∠ C)}

. Nu kan vi indsætte de givne værdier:

\begin{aligned} \frac{B C}{\sin (∠ A)} & = \frac{A B}{\sin (∠ C)} \\ \frac{11}{\sin (∠ A)} & = \frac{5}{\sin (25^{\circ})} \\ 11 \sin (25^{\circ}) & = 5 \sin (∠ A) \\ \frac{11 \sin (25^{\circ})}{5} & = \sin (∠ A) \end{aligned}

Vi foretager udregningen med en lommeregner og afrunder:

∠ A = \sin^{- 1} (\frac{11 \sin (25^{\circ})}{5}) \approx 68, 4^{\circ}

Hvis den manglende vinkel er stump, skal vi trække lommeregnerens svar fra

180^{\circ}

Opgave 1.1

B C =

Afrund til den nærmeste tiendedel.

Vil du løse flere opgaver som dem her? Tjek denne øvelse.

Øvelse 2: Brug af cosinusrelationerne

Denne sætning er nyttig, når du skal finde en vinkel og alle sidelængder er givet. Den kan dog også bruges til at finde en manglende side, når de andre sider og en vinkel er givet.

Eksempel 1: Find en vinkel

Lad os finde

∠ B

i følgende trekant:

Ifølge cosinusrelationerne:

(A C)^{2} = (A B)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A B) (B C) \cos (∠ B)

Nu kan vi indsætte de kendte værdier:

\begin{aligned} (5)^{2} & = (10)^{2} + (6)^{2} - 2 (10) (6) \cos (∠ B) \\ 25 & = 100 + 36 - 120 \cos (∠ B) \\ 120 \cos (∠ B) & = 111 \\ \cos (∠ B) & = \frac{111}{120} \end{aligned}

Vi foretager udregningen med en lommeregner og afrunder:

∠ B = \cos^{- 1} (\frac{111}{120}) \approx 22, 33^{\circ}

Eksempel 2: Find en manglende side

Lad os finde

A B

i følgende trekant:

Ifølge cosinusrelationerne:

(A B)^{2} = (A C)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A C) (B C) \cos (∠ C)

Nu kan vi indsætte de kendte værdier:

\begin{aligned} (A B)^{2} & = (5)^{2} + (16)^{2} - 2 (5) (16) \cos (61^{\circ}) \\ (A B)^{2} & = 25 + 256 - 160 \cos (61^{\circ}) \\ A B & = \sqrt{281 - 160 \cos (61^{\circ})} \\ A B & \approx 14, 3 \end{aligned}

Opgave 2.1

∠ A =

^{\circ}

Afrund til nærmeste hele grad.

Vil du løse flere opgaver som dem her? Tjek denne øvelse.

Øvelse 3: Tekstopgaver med vilkårlige trekanter

Opgave 3.1

"Der er kun én tilbage." Ryan signalerer til sin bror fra sit skjulested.

Matt nikker. Han har også set den sidste onde robot.

34

grader." Matt signalerer tilbage og informerer dermed Ryan om den vinkel, han observerer mellem Ryan og robotten.

Ryan skriver denne værdi på sit diagram (vist nedenfor) og laver nogle udregninger. Han kalibrerer sin laserkanon til den korrekte afstand, sigter og affyrer.

Til hvilken afstand kalibrerede Ryan sin laserkanon?
Afrund ikke undervejs, men afrund dit endelige svar til nærmeste hele meter.

m

Vil du løse flere opgaver som denne? Tjek denne øvelse.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.