Tekstopgave med trigonometri: stjerner

Artemis søger viden om bredden af Orions bælte, som er nogle af stjernerne i stjernebilledet Orion. Hun har tidligere erfaret, at afstandene fra sit hus til Alnitak er 736 lysår og til Mintaka er 915 lysår, som er endepunkterne i Orions bælte. Hun ved, at vinklen mellem disse stjerner på himmelen er 3 grader. Hvad er bredden af Orions bælte? Altså, hvad er afstanden mellem Alnitak og Mintaka? Vi skal give svaret i lysår. Lad os tegne et diagram for sikre os, vi forstår hvad der forgår. Faktisk inden vi gør det, vil jeg opfordrer dig til lave en pause og selv prøve at lave den. Nu kan vi lave et diagram. Okay, lad os sige, at dette er Artemis' hus. Jeg kalder det A for Artemis' hus. Nej, lad mig sige H for hjemme. Vi har to stjerner. Hun kigger ud på nattehimmelen og ser disse stjerner. Alnitak er 736 lysår væk. Tydeligvis tegner jeg ikke i korrekt målestoksforhold. Dette er Alnitak. Lad os sige, at dette er Mintaka. Vi ved et par ting. Vi ved, at denne afstand mellem hendes hjem og Alnitak er 736 lysår. Det er denne afstand her. Vi laver alting i lysår. Det er 736. Og afstanden mellem hendes hus og Mintaka er 915 lysår. Det vil tage lyset 915 år at gå fra hendes hus til Mintaka eller fra Mintaka til hendes hus. Det er 915 lysår. Det vi skal finde ud af er bredden af Orions bælte. Det er afstanden mellem Alnitak og Mintaka. Vi skal bestemme denne afstand. En ting vi er givet, er denne vinkel. De har givet os størrelsen af vinklen. De siger, at vinklen mellem stjernerne er 3 grader. Dette er 3 grader. Hvordan kan vi bestemme afstanden mellem Alnitak og Mintaka? Lad os sige, den er lig x. Hvordan gør vi det? Vi har to sider og vinklen i mellem dem, så vi kan bruge cosinusrelationerne til at bestemme den tredje side. Lad os bruge cosinusrelationerne. Cosinusrelationerne fortæller os, at x² er lig summen af kvadraterne på de to andre sider. Det er lig 736² + 915² - 2 gange 736 gange 915 gange cos(3°). Vi forsøger at bestemme længden af den modstående side til de 3 grader. Vi kender de to andre sider, så cosinusrelationerne -- undskyld jeg skulle lige hoste, da jeg har spist jordnødder og min hals er tør -- Hvor var jeg? Jeg sagde, når vi kender vinklen og de to sider på hver side af vinklen, så kan vi bestemme længden af den modstående sige med cosinusrelationerne. Den starter nærmest som Pythagoras' læresætning, men så justerer vi den, da dette ikke er en retvinklet trekant. Vi har 736² + 915² - 2 gange produktet af disse sider gange cosinus til denne vinkel. Eller man kan sige at, x er lig kvadratoden af alt dette. -- jeg kan lige copy-paste det -- x er lig kvadratroden af dette. Lad os hente vores lommeregner og udregne det. Jeg sikrer mig den er sat til grader. Ja, jeg er sørme i grader. Lad os gå ud af det. Jeg skal udregne kvadratroden af 736² + 915² - 2∙736∙915∙cos(3°). -- vi fortjener en trommesolo -- x er 100... -- lad os se, hvad vi bliver bedt om -- Afrund dit svar til nærmeste lysår. Til det nærmeste lysår er 184 lysår. Så x er omkring 184 lysår. Det vil tage lyset 184 år, at gå fra Mintaka til Alnitak. Forhåbentlig kan du se, at hvis du skal lave astronomi så kan cosinusrelationerne, faktisk alt trigonometri, være særdeles nyttigt.