If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Trigonometriske forhold i retvinklede trekanter

Sal viser et par eksempler, hvor vi kender de to kateter i en retvinklet trekant og ud fra dem finder sinus, cosinus og tangens til en af de spidse vinkler i trekanten. Lavet af Sal Khan.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Video udskrift

Lad os lave en hele masse eksempler, så vi får et godt greb om de trigonometriske funktioner. Lad os tegne nogle retvinklede trekanter. Lad mig gøre det helt klart, det jeg har defineret indtil nu gælder kun for retvinklede trekanter. Hvis du skal finde de trigonometriske funktioner til vinkler i ikke-retvinklede trekanter, så er vi nødt til at konstruere retvinklede trekanter, men lad os holde os til de retvinklede trekanter for nu. Lad os sige, at jeg har en trekant, hvor længden hernede er syv og længden af ​​siden heroppe er fire. Lad os finde ud af, hvad hypotenusen er? Lad os kalde hypotenusen, "h". Vi ved, at h² = 7² + 4². Det har vi fra Pythagoras' læresætning. Kvadratet på hypotenusen er lig med summen af kvadratet på de to kateter. h² = 7² + 4². Det er lig med 49 + 16, 49 + 10 er 59 + 6 er 65. h² = 65. Er det rigtigt? 49 + 10 er 59 + 6 er 65. Når vi tager kvadratroden på begge sider, så er h er lig med kvadratroden af ​​65. Det kan ikke reduceres mere. 65 er det samme som 13 gange 5, ingen af tallene er kvadrattal og de er begge primtal, så det kan ikke reduceres mere. h er lig med kvadratroden af 65. Lad os finde de trigonometriske funktioner for denne vinkel. Lad os kalde den vinkel θ. Når du skal gøre dette, så hjælper det mig at skrive "Mod hos modhos" -- på engelsk [soh cah toa] -- Jeg husker svagt enten fra min trigonometrilærer eller en bog noget med en indianerprinsesse ved navn "Soh cah toa", men det gør det lettere at huske det. Lad os bruge "mod hos modhos". Vi skal finde cosθ. Du siger, "mod hos modhos". "hos" viser os, hvad cosinus er. Cosinus er hosliggende over hypotenuse. Lad os finde θ. Hvilken side er den hosliggende? Vi ved, at hypotenusen er denne side, så det kan ikke være den side. Den eneste anden side, som ligger ved siden af og ikke er hypotenusen er denne med længden 4. Den hosliggende side er den side, der ligger ved siden af vinklen. En af de sider, der danner vinklen. Vi får 4 over hypotenusen. Vi kender allerede hypotenusen, som er kvadratroden af 65. Det bliver 4 over kvadratroden af 65. Nogle foretrækker at have et rationalt tal i nævneren. De bryder sig ikke om et irrationalt tal i nævneren, som kvadratroden af 65. Hvis du vil skrive det uden et irrationalt tal i nævneren, så kan du gange tæller og nævner med kvadratroden af 65. Det ændrer ikke på størrelsen af tallet, da vi ganger med samme i tæller og nævner, så ganger vi tallet med 1. Det ændrer ikke størrelsen, men vi slipper af med den irrationale nævner. Tælleren bliver 4 gange kvadratroden af 65 og nævneren er kvadratroden af 65 gange kvadratrod 65, som er 65. Vi slap ikke af med det irrationale tal, men det er nu i tælleren. Lad os fortsætte med en anden trig funktion. En af de andre grundlæggende trig funktioner. Vi skal fremover lære, at der er mange af dem, men de er alle afledt af disse. Lad os se, hvad sinus til theta er. Vi bruger igen "mod hos modhos". "mod" fortæller os, hvordan vi finder sinus. Sinus er modstående over hypotenusen. For denne vinkel, hvilken side er modstående? Vi går blot modsat og kommer til siden. Den er modsat 7, så længden af den modstående side er 7. Dette er den modstående side. Hypotenusen er kvadratroden af 65. Hvis vi lave nævneren rational, så ganger vi med kvadratroden af 65 over kvadratroden af 65, og får i tælleren 7 kvadratroden af 65 og blot 65 i nævneren. Lad os finde tangens. Hvad er tangens til theta? Vi går igen tilbage til "mod hos modhos". "modhos" fortæller os, hvordan vi finder tangens. Tangens er modstående over hosliggende. For denne vinkel, hvad er modsat? Det har vi allerede fundet ud af. Det er 7, det modsatte er 7. Det er 7 over den hosliggende. 4 er hosliggende. Det bliver 7/4. Og vi er færdige. Vi har fundet alle trig forholdene for θ. Lad os lave endnu en. Jeg laver den en smule mere specifik. Lad mig tegne endnu en retvinklet trekant. Hypotenusen har længden 4. Denne side har længden 2 og denne har længden 2 gange kvadratroden af 3. Lad os se om det passer. (2 kvadratroden af 3)² + 2² er? Dette bliver 4 ⋅ 3 + 4, som er 12 + 4, som er 16. 16 er sørme lig 4². Pythagoras' læresætning opfyldes. Hvis du husker tilbage på 30 60 90 trekanter, som du måske har lært om, så ser du måske, at dette er en 30 60 90 trekant. Dette er den rette vinkel, som viser, at det er en retvinklet trekant. Dette er 30-graders vinklen og dette er 60-graders vinklen. Det er en 30 60 90 graders trekant, fordi siden modsat 30 grader er det halve af hypotenusen og siden modsat 60 grader er kvadratroden af 3 gange siden, der ikke er hypotenusen. Dette er ikke en gennemgang af 30 60 90 trekanter, selvom jeg lige gjorde det. Lad os finde trig forholdene til de forskellige vinkler. Nu jeg spørger, hvad er sinus til 30 grader? Husk at selvom 30 grader er en vinkler i denne trekant, så gælder det for alle 30-graders vinkler i en retvinklet trekant. Vi skal senere lave en bredere definition. Når du siger sin30, som er denne vinkel, så kan du bruge denne trekant. Vi skal blot huske på "mod hos modhos". "mod" gælder for sinus, så sinus er modstående over hypotenusen. Den modstående er 2 over hypotenusen. Hypotenusen er 4, så det er 2/4, som er 1/2. Som du vil finde ud af, sinus til 30 grader er altid 1/2. Hvad er cosinus til 30 grader? "mod hos modhos" igen. "hos" fortæller, hvad vi skal gøre med cosinus. Cosinus er hosliggende over hypotenusen. Ud fra 30-graders vinklen er dette den hosliggende. Lige ved siden af den og ikke hypotenusen. Den hosliggende over hypotenusen, så det er 2 kvadratroden af 3 over hypotenusen, så over 4 Som vi kan reducere ved at dividere tæller og nævner med 2. Det er kvadratroden af 3 over 2. Til sidst lad os lave tangens. Tangens til 30 grader. Tilbage til "mod hos modhos". "modhos" svarer til tangens. Det er modstående over hosliggende. Vi går hen til 30-gradersvinklen, fordi vi skal finde tangens til 30. Modstående er 2. Hosliggende er 2 kvadratroden af 3. Den er ved siden af, så hosliggende. Hosliggende betyder ved siden af. 2 over 2 gange kvadratroden af 3. 2-tallerne fjernes. 1 over kvadratroden af 3. eller vi kan gange tæller og nævner med kvadratroden af 3, altså kvadratoden af 3 over kvadratroden af 3, tælleren er kvadratroden af 3 og nævneren er 3. Nu nævneren et rationalt tal. Godt nok Lad os bruge den samme trekant til at finde trig forholdene for 60 grader, nu da vi har tegnet den. Hvad er sinus til 60 grader? Jeg håber, du er ved at få styr på det. Sinus er modstående over hypotensuen, "mod" fra " mod hos modhos". Hvilken side er modstående til 60-graders vinklen? Den er modsat 2 kvadratroden af 3, så den modstående side er 2 kvadratroden af 3. Det er modstående over hypotenusen, [Sal lavede en fejl tidligere som rettes.] så det er 2 kvadratroden af 3 over 4. 4 er hypotenusen. Dette kan reduceres til kvadratroden af 3 over 2. Hvad er cosinus til 60 grader? Husk på "mod hos modhos". Cosinus er hosliggende over hypotenusen. Hosliggende er siden på 2 ved siden af 60-graders vinklen. 2 over hypotenusen, som er 4. Det er lig 1/2. Til sidst hvad er tangens til 60 grader? "mod hos modhos" Tangens er modstående over hosliggende. Modstående til 60 grader. Det er 2 kvadratroden af 3. Hosliggende er 2. Den hosliggende til 60 grader er 2. Den modstående over den hosliggende 2 kvadratoden af 3 over 2, som er lig kvadratorden af 3. Kan du set sammenhængen? Sinus til 30 grader er det samme som cosinus til 60 grader. Cosinus til 30 grader er det samme som sinus til 60 grader. Disse to er det omvendte af hinanden. Hvis du tænker lidt over det, så tror jeg det giver mening, hvorfor. Vi vil gå videre med det og en hel del flere øvelser i de næste videoer.