Intro til den trigonometriske grundrelation

Der er en retvinklet trekant tegnet her hvor længden af dens grundlinje er a, højden er b og længden af hypotenusen er c. Vi ved allerede fra Pythagoras' læresætning, hvilken sammenhæng der er mellem a, b og c. Vi ved, at a² + b² er lig kvadratet på hypotenusen, så c². I denne video vil jeg udforske sammenhængen mellem trig funktioner og Pythagoras' læresætning. For at gøre det, lad os vælge en af de ikke rette vinkler. Lad os vælge denne vinkel til at være θ. Og lad os overveje, hvad sin(θ) og cos(θ) er og se, om vi kan rode lidt med dem og drage nytte af Pythagoras' læresætning. Inden vi gør det lad os lige skrive "Mod Hos ModHos" ned, så vi kan huske definitionerne for disse trig funktioner. "Mod", sinus er modstående over hypotenuse. "Hos", cosinus er hosliggende over hypotenuse. "ModHos", tangens er modstående over hosliggende. Vi kommer ikke til at bruge tangens i denne video. Lad os se på sin(θ). Jeg vil bruge denne blå farve. Hvad er sin(θ)? Det er modstående over hypotenuse, så det er længden af b over længden af hypotenusen, som er c. Hvad er cos(θ)? Den hosliggende side til denne vinkel, der ikke er hypotenusen, den har længden a. Det er længden af den hosliggende side over længden af hypotenusen. Hvordan kan jeg kæde disse sammen? Hvis jeg tager kvadratet på sin(θ), så får jeg sin²(θ) er lig b²/c² og cos²(θ)er lig a²/c². Hvis jeg lægger dem sammen, så får jeg noget der ligner Pythagoras' læresætning. Lad os prøve at gøre det. sin²(θ) = b²/c². Jeg tog kvadratet på begge sider. cos²(θ) = a²/c². Hvad er summen? Hvad er sin²(θ) + cos²(θ)? Det er lig hvad? Det er lig b²/c² + a²/c², som er lig -- vi har fællesnævneren c² -- I tælleren har vi b² + a². Hvad er b² + a² ? Det har vi lige herover. Pythagoras' læresætning siger, at b² + a² eller a² + b² er lig c². Tælleren kan reduceres til c². Hele udtrykket er c²/c², som blot er lig 1. Ved at bruge "Mod Hos ModHos" definition -- i en fremtidig video vil vi bruge enhedscirklens definition -- med "Mod Hos ModHos" definitionen af vores trig funktioner kan vi lave den mest vigtige af alle de trigonometriske formler, grundrelationen. at sin²(θ) + cos²(θ) = 1. Nu siger du måske, okay Sal, det er da meget sejt, men hvorfor er det så vigtigt? Hvad skal jeg bruge det til? Jo, hvis du giver mig sinus til en vinkel, så kan jeg bruge denne formel til at finde cosinus eller omvendt. Så det er faktisk en ret væsentlig ting. Det er også et af incitamenterne bag enhedscirklens definition af de trigonometriske funktioner.