Beregning af højde ved hjælp af energi

Her er en fjeder, der ikke er komprimeret med en fjederkonstant på 4 N/m. Jeg tager en kugle med massen 10 g og lægger den på fjederen og trykker ned, så fjederen komprimeres 10 cm. Vi kalder dette for tilstand 1, hvor massen er oven på den komprimerede fjeder. Nu giver vi slip. Fjederen vil affyre massen op i luften og massen vil nå en maksimal højde. Vi kalder dette tilstand 2, når vi er ved den største højde. Mit spørgsmål er så, hvad er den største højde? Brug den information jeg har givet dig. Jeg vil give dig et hint. Vi skal huske, at energi er bevaret. Den samlede energi i tilstand 1 er lig med den samlede energi i tilstand 2. Sæt videoen på pause og se om du kan finde ud, hvad den største højde er. Ok, lad os løse opgaven sammen. Den samlede energi bevares, men hvad består den samlede energi af? Der vil være noget potentiel energi og noget kinetisk energi. Den potentielle energi i tilstand 1 plus den kinetiske energi i tilstand 1 er lig med den potentielle energi i tilstand 2 plus den kinetiske energi i tilstand 2. Der kan være andre typer af energi, som varme fra luftmodstand, som vi vil se bort fra for at gøre opgaven mere enkel. Vi kan antage, at dette er i vakuum. Det hjælper os lidt. Lad os først se på potenetiel energi. Der er faktisk to typer af potentiel energi her. Der er gravitationspotentiel energi og der er elastisk potentiel energi eller fjederenergi, da kuglen ligger på en komprimeret fjeder Den gravitationspotentielle energi er lig med masse gange tyngdeaccelerationen gange højden i tilstand 1, h₁. Den elastiske potentiel energi er lig med ½ gange fjederkonstanten, k, gange kvadratet på ændringen af fjederens længde ∆x₁. Dette er den samlede potentiel energi i tilstand 1 Vi skal lægge vores kinetiske energi til. Den er ½ gange masse gange kvadratet på hastigheden, v₁. Denne sum er lig med summen af dette i tilstand 2. Det bliver m ⋅ g ⋅ h₂ plus ½ ⋅ k ⋅ ∆x₂². plus ½ ⋅ m ⋅ v₂². Dette er altså den potentielle energi i tilstand 2. Dette er den kinetiske energi. Det ser måske uoverskueligt ud, men vi kan reducere en hel del. Vi kan starte med at definere tilstand 1. h₁ er lig med 0, hvilket gør det hele meget lettere. Når h₁ er 0, så er dette led 0. Hastigheden er 0 i tilstand 1, så den kinetiske energi er 0. TIlbage på den venstre side er fjederenergien som er ½ ⋅ k ⋅ ∆x₁². Hvad sker der på den højre side? Fjederen er ikke komprimeret, så den elastiske potentiel energi er 0. Hvad med kinetiske energi? Ved den største højde så bevæger kuglen sig faktisk ikke i et øjeblik. I præcis dette øjeblik, hvor den vender fra at gå op til at gå ned, så har den en hastighed på 0. v₂ er 0, ligesom v₁. Så det bliver 0. Vi har derfor tilbage, at den elastiske potentiel energi er lig med gravitationspotentiel energi i tilstand 2. Nu skal vi blot isolere h₂, som er den største højde. Vi dividerer på begge sider med mg og har så h₂ er lig med ½ ⋅ k ⋅ ∆x₁² over m·g. Vi kender disse størrelser og jeg skriver det med enhederne. h₂ er lig med ½ ⋅ k , som er 4 N/m, ∆x er 10 cm, men husk vi kan ikke putte kvadratet på 10 cm her. Enhederne skal passe sammen Vi har ikke cm eller g, vi har m og kg. Så jeg skal omregne 10 cm til m det bliver 0,1 m. Det skriver jeg som gange 0,1. Det er ændringen i fjederens længde, ∆x i meter. Det skal vi tage kvadratet af. Hvad skal der stå nede under? Massen skal indsættes i kg. Massen er 0,01 kg g er 9,8 m/s². Når du udregner det, så får du omkring 0,2 m og enhederne passer. Husk newton er det samme som kg m/s². kg og kg kan reduceres. s² og s² kan reduceres. m og m kan reducers. Tilbage har du m² divideret med m, så det bliver m. Sådan vi er færdige. Vi har udregnet den største højde ved at bruge viden om energibevarelse til at være omkring 0,2 m.