Beregning af hastighed ved hjælp af energi

Vi har her en fjeder, som har en fjederkonstant på 4 N/m. Vi tager denne masse på 10 g og lægger den ovenpå fjederen, hvorefter vi komprimerer fjederen 10 cm. Så giver vi slip. Nu vil jeg gerne vide, hvad størrelsen af kuglens hastighed bliver, idet fjederen ikke længere er komprimereret eller udstrakt, altså når kuglen affyres? Sæt videoen på pause og se om du kan finde ud af det. Jeg vil give dig et hint. Den samlede energi i denne tilstand er lig med den samlede energi i denne tilstand. Vi kan ikke lave eller ødelægge energi. Ok, lad os løse den sammen. Lad os kalde dette tilstand 1. Hvad er den samlede energi i tilstand 1? Den er summen af gravitationspotentiel energi, altså m g gange højden i tilstand 1 h₁ plus elastisk potentiel energi, altså ½ gange fjederkonstanten k gange kvadratet på hvor meget fjederen er komprimeret ∆x₁² plus kinetisk energi, som er ½ ⋅ m ⋅ v₁² Det skal være lig med den samlede energi i tilstand 2. Hvor stor er den? Vi har gravitationspotentiel energi i tilstand 2 som er mgh₂ plus elastisk potentiel energi i tilstand 2, som er ½ ⋅ k ⋅ ∆x₂² plus kinetisk energi i tilstand 2, som er ½ ⋅ m ⋅ v₂² Hvilke af disse variable kender vi og hvilke skal vi isolere? Massen, fjederkonstanten og tyngdeaccelerationen kender vi. Vores masse er lig med 10 g. Tyngdeaccelerationen, altså acceleration på grund af tyngdekraften nær jordens overflade er 9,8 m/s². Fjederkonstanten er 4 N/m, Jeg minder mig tit mig selv om, at en newton er kg ⋅ m/s². Det er altså også lig med 4 kg / s², da de to m kan reduceres. Det er en nyttig ting at gøre, da vi mindes om, at have alting i enhederne kg og m. Lad mig omskrive vores masse til 0,01 kg. Lad os se nærmere på, hvad der sker i hver af disse tilstande. Hvor stor er vores h₁? Jeg har ikke fortalt dig, hvad den er, men det vigtige her er forskellen på h₁ og h₂. Lad os definere h₁ til at være lig med 0. Det skriver jeg her. h₁ er lig med 0. Hvor stor er h₂? h₂ er lig med 10 cm, men vi skal have enheder i kg og m, så 10 cm er det samme som 0,1 m. Hvor meget er fjederen komprimeret i tilstand 1? Det er 10 cm, men vi skal bruge enheden m, så ∆x₁ er lig med 0,1 m. Hvor meget er fjederen komprimeret i tilstand 2? Fjederen er hverken komprimeret eller udstrakt, så ∆x₂ er lig med 0 m. Hvad er størrelsen af vores hastighed i tilstand 1? Vi er i hvile, så v₁ er 0 m/s. Hvad er størrelsen af vores hastighed i tilstand 2? Det er den vi skal isolere og finde. Det er vores affyrings hastighed. Lad os reducere ligningen og så isolere v₂. Vi ved, at h₁ = 0, så dette led fjernes, da det er lig med 0. Vi ved, at v₁ = 0, så dette led fjernes. Vi ved, at ∆x₂ = 0, så dette led fjernes. Nu kan vi omskrive det hele igen med en farve for at gøre det hurtigere. Så ½ ⋅ k ⋅ ∆x₁² er lig med m⋅g⋅h₂ + ½⋅m⋅v₂². Lad os isolere denne variabel v₂. Lad mig trække m⋅g⋅h₂ fra på begge sider, så har vi ½ ⋅ k ⋅ ∆x₁² - m⋅g⋅h₂ er lig med ½⋅m⋅v₂². Vi ganger på begge sider med 2/m, så kan vi fjerne de ½⋅m her. Jeg skriver det lige. Jeg laver to trin på en gang. Man kan sige, jeg ganger med den reciprokke til koefficienten til v₂². Koefficienten er m/2, så den reciprokke er 2/m. Jeg skal huske at gange det med alle led på denne side. Hvad har vi så? Vi har (k ⋅ ∆x₁²)/m - 2⋅g⋅h₂ er lig med v₂² Lad os isolere affyringshastigheden v₂, så vi tager kvadratroden på begge sider. v₂, affyringshastigheden, er lig med kvadratroden af (k ⋅ ∆x₁²)/m - 2⋅g⋅h₂. Nu skal vi blot indsætte tallene. Jeg skifter farve igen, så det bliver mindre ensformigt. v₂ er lig med kvadratroden af... jeg bruger denne version af fjeder- konstanten, så jeg kan se alle enhederne, 4 kg/s² gange ∆x₁² som er 0,01 m² alt dette over masse som er 0,01 kg minus 2 gange 9,8 m/s² gange h₂ som er 0,1 meter. Lad mig lige forlænge rodtegnet. Lad os tjekke enhederne og se om vi har gjort det korrekt. kg og kg kan reduceres. Her har vi noget med enheden m²/s², og her har vi noget med enheden m²/s². Det giver mening, vi har en forskel på to ting med enheden m²/s². Når du tager kvadratroden, så får du m/s, som er enheden for størrelsen af en hastighed. Nu skal vi blot have fat i vores lommeregner og udregne det. De to 0,01 kan reduceres. Her har vi så 4 og jeg skal trække 2 gange 9,8 gange 0,1 fra. Jeg lukker parentesen og det bliver lig med det her. så tager jeg kvadratroden af det hele og jeg får omkring 1,43 m/s og vi er færdige.