If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Bevægelsesligningerne

Her er de vigtigste ligninger, du får brug for i opgaver om konstant acceleration.

Hvad er bevægelsesligningerne?

Bevægelsesligningerne er et sæt af ligninger, der viser sammenhængen mellem de fem kinematiske variable vist nedenfor.
ΔxForskydning (bevæget strækning)
tTidsinterval 
v0  Starthastighed 
v   Sluthastighed 
a   Konstant acceleration 
Når vi kender tre af de fem kinematiske variable — Δx,t,v0,v,a — for et objekt under konstant acceleration, kan vi bruge en af bevægelsesligningerne til at bestemme en af de ukendte variable.
Bevægelsesligningerne er ofte skrevet som følgende fire ligninger.
1.v=v0+at
2.Δx=(v+v02)t
3.Δx=v0t+12at2
4.v2=v02+2aΔx
Da bevægelsesligningerne kun er nøjagtige, hvis accelerationen er konstant i det betragtede tidsinterval, skal vi passe på, at vi ikke bruger dem, når accelerationen ændrer sig. Ligeledes antages det i disse ligninger, at alle variable refererer til bevægelse i den samme retning: vandret x, lodret y, osv.

Hvad er et objekt i frit fald?

Det kan umiddelbart virke som om bevægelsesligningerne ikke er særlig nyttige, da de er begrænset til tidsintervaller med konstant acceleration. Men en af de mest almindelige former for bevægelse - frit fald, har faktisk konstant acceleration.
Alle objekter i frit fald – også kaldet projektiler – på Jorden, uanset deres masse, har en konstant nedadgående acceleration på grund af tyngdekraften på g=9,81ms2.
g=9,81ms2(Størrelse af acceleration på grund af tyngdekraft)
Et objekt i frit fald er ethvert objekt, der accelererer udelukkende på grund af tyngdekraften. I denne situation antages det typisk at påvirkningen fra luftmodstand er så lille, at den kan ignoreres. Derfor vil ethvert objekt, der er sluppet, kastet eller på anden måde falder frit gennem luften, antages at være et frit faldende projektil med en konstant nedadgående acceleration på g=9,81ms2.
Det er både mærkværdigt og heldigt, når man tænker over det. Men det betyder, at en stor kampesten vil accelerere nedad med samme acceleration som en lille sten, og hvis de falder fra samme højde, vil de ramme jorden samtidig.
Det betyder ligeledes, at vi ikke behøver at kende massen af projektilet for at bruge bevægelsesligningerne, da det frit faldende objekt vil have den samme acceleration, g=9,81ms2, uanset hvilken masse det har, så længe luftmodstand er ubetydelig.
Det er vigtigt at huske på, at g=9,81ms2 er accelerationen på grund af tyngdekraften. Hvis opad er valgt som positiv, så skal accelerationen på grund af tyngdekraften gøres negativ, ay=9,81ms2, når vi bruger bevægelsesligningerne.
Advarsel: At glemme det negative fortegn er en af de mest almindelige fejlkilder, når man bruger bevægelsesligningerne.

Hvordan vælges og bruges en af ligningerne?

Du kan bruge en af ligningerne, hvis den kun indeholder én ukendt variabel, og du dermed kender de øvrige kinematiske variabler i ligningen. Dermed kan du isolere den ukendte, indsætte de kendte variable og bestemme værdien af den ukendte variabel.
For eksempel, en bog, der lå på jorden, blev sparket fremad med en starthastighed på v0=5 m/s, så den flyttede sig Δx=8 m i tidsintervallet t=3 s. Vi kan bruge den kinematiske formel Δx=v0t+12at2 til at udregne bogens ukendte acceleration a, forudsat at den er konstant — da vi kender alle andre variable i formlen — Δx,v0,t.
Hint: Hver ligning mangler en af de fire kinematiske variable — Δx,a,v,t.
1.v=v0+at(Denne ligning mangler Δx.)
2.Δx=(v+v02)t(Denne ligning mangler a.)
3.Δx=v0t+12at2(Denne ligning mangler v.)
4.v2=v02+2aΔx(Denne ligning mangler t.)
For at vælge den ligning der passer til din opgave, skal du finde ud af hvilken variabel, du hverken har eller bliver bedt om at finde. I eksemplet ovenfor blev bogens endelige hastighed v hverken givet eller bedt om, så du bør vælge en formel, der ikke indeholder v. Ligningen Δx=v0t+12at2 mangler v, så det er det rigtige valg i dette tilfælde, når den ukendte acceleration a skal udregnes.

Hvordan udledes den første ligning, v=v0+at ?

Denne ligning er nok den nemmeste at udlede, da den egentlig svarer til en omskrivning af definitionen for acceleration. Lad os derfor starte med definitionen for acceleration:
a=ΔvΔt
Nu kan vi erstatte Δv med definitionen af hastighedsændring vv0.
a=vv0Δt
Til sidst isoleres v:
v=v0+aΔt
Vi kan per konvention bruge t i stedet for Δt, og vi har udledt den første bevægelsesligning:
v=v0+at

Hvordan udledes den anden ligning, Δx=(v+v02)t?

Denne ligning kan udledes på en smart visual måde, ved at bruge hastighedsgrafen for et objekt, der bevæger sig med konstant acceleration. Denne graf vil have en konstant hældning og begynde med den oprindelige hastighed v0, som vist i figuren nedenfor.
Arealet under enhver hastighedsgraf svarer til forskydningen Δx. Arealet under denne hastighedsgraf svarer derfor til forskydningen Δx af objektet.
Δx= samlet areal
Dernæst opdeles arealet i det blåt rektangel og den røde trekant, som vist i figuren ovenfor.
Da højden af det blå rektangel svarer til v0 og bredden svarer til t, så kan arealet af det blå rektangel beregnes som v0t.
Grundlinjen af den røde trekant svarer til t og højden svarer vv0, så arealet af den røde trekant beregnes som 12t(vv0).
Det samlede areal er summen af arealet af det blå rektangel og den røde trekant.
Δx=v0t+12t(vv0)
Når vi ganger faktoren 12t ind i parentesen, får vi
Δx=v0t+12vt12v0t
Dernæst samles de to led med v0
Δx=12vt+12v0t
Til sidst omskrives den højre side til den anden bevægelsesligning:
Δx=(v+v02)t
Denne ligning er interessant, for hvis du dividerer begge sider med t, får du Δxt=(v+v02). Dette viser, at den gennemsnitlige hastighed Δxt er lig med gennemsnittet af slut- og starthastigheden v+v02. Husk, dette er kun sandt, når accelerationen er konstant, da vi udledte denne ligning fra en hastighedsgraf med konstant hældning og derfor konstant acceleration.

Hvordan udledes den tredje ligning, Δx=v0t+12at2?

Ligningen Δx=v0t+12at2 kan udledes på et par forskellige måder. Vi vil her lave en smart visuel geometrisk udledning og en mindre spændende 'rugbrødsmetode'. Lad os først lave den visuelle udledning.
Figuren nedenfor viser grafen for hastigheden af et objekt, der starter med hastigheden v0 og som med konstant acceleration når en sluthastighed på v.
Da arealet under enhver hastighedsgraf svarer til forskydningen Δx, repræsenterer hvert led på højre side af ligningen Δx=v0t+12at2 et særskilt område under grafen i figuren ovenfor.
Leddet v0t repræsenterer arealet af det blå rektangel, da Arektangel=h·b.
Leddet 12at2 repræsenterer arealet af den røde trekant, da Atrekant=12g·h.
Det var det. Ligningen Δx=v0t+12at2 er sand, da forskydningen svarer til det samlede areal under grafen. Vi antog, at hastighedsgrafen var en pæn skrå linje, så formlen for arealet af en trekant kunne bruges. Husk, denne ligningen, ligesom alle de øvrige bevægelsesligninger, er kun sand, når accelerationen er konstant.

Ligningen kan også udledes med den mere kedelige rugbrødsmetode. Den tredje ligning kan afledes ved at indsætte den første ligning, v=v0+at, ind i den anden ligning, Δxt=v+v02.
Hvis vi starter med den anden (lidt omskrevne) ligning
Δxt=v+v02
og indsætter v=v0+at i stedet for v, får vi
Δxt=(v0+at)+v02
Vi kan omskrive højre side og få
Δxt=v02+at2+v02
Dernæst samles de to led med v02, og vi får
Δxt=v0+at2
Til sidst ganges begge sider med tiden t og vi har den tredje bevægelsesligning.
Δx=v0t+12at2
Da de brugte bevægelsesligninger har et krav om konstant acceleration, så er denne tredje bevægelsesligning også kun sand, når accelerationen er konstant.

Hvordan udleder du den fjerde ligning, v2=v02+2aΔx?

For at udlede den fjerde ligning, starter vi med den anden bevægelsesligning:
Δx=(v+v02)t
Vi skal fjerne tiden t fra ligningen. For at gøre dette omskriver vi den første ligning, v=v0+at, så vi får t=vv0a. Nu kan vi indsætte dette udtryk for t i den anden ligning, og vi får:
Δx=(v+v02)(vv0a)
Multiplikation af brøkerne giver
Δx=(v2v022a)
Til sidst isolerer vi v2 og får den fjerde bevægelsesligning.
v2=v02+2aΔx

Hvorfor er bevægelsesligningerne så forvirrende?

Folk glemmer ofte, at bevægelsesligningerne kun er sande, når accelerationen er konstant i løbet af det betragtede tidsinterval.
Nogle gange vil en kendt variabel ikke blive eksplicit givet i et problem, men snarere underforstået med kodeord. For eksempel, "starter fra hvile" betyder v0=0, "sluppet" ofte v0=0 og "stopper op" betyder v=0. Desuden antages accelerationen på grund af tyngdekraften på alle frit faldende projektiler at være g=9,81ms2. Denne acceleration vil normalt ikke blive givet eksplicit i en opgave, men er underforstået for ethvert frit faldende objekt.
Folk glemmer, at alle kinematiske variabler – Δx,vo,v,a – bortset fra t kan være negative. Et manglende negativt fortegn er en meget almindelig fejlkilde. Hvis opad antages at være positiv, skal accelerationen på grund af tyngdekraften for et frit faldende objekt være negativ: ag=9,81ms2.
Den tredje bevægelsesligning, Δx=v0t+12at2, kan kræve brug af løsningsformlen for en andengradsfunktion, se eksempel 3 nedenfor.
Folk glemmer, at selvom du kan vælge et tidsinterval med konstant acceleration, skal de kinematiske variabler du indsætter i en bevægelsesligning svare til dette tidsinterval. Med andre ord, starthastigheden v0 skal være objektets hastighed ved startpositionen og start af tidsintervallet t. Tilsvarende skal sluthastigheden v være hastigheden ved slutposition og slutningen af tidsintervallet t.

Eksempler på brug af bevægelsesligningerne.

Eksempel 1: Første bevægelsesligning, v=v0+at

En vandballon fyldt med saftevand slippes fra toppen af en meget høj bygning.
Hvad er hastigheden af vandballonen, når t=2,35 s?
Hvis det antages, at opad er den positive retning, er de kendte variable
v0=0 (Vandballonen blev sluppet, så den startede i hvile.)
t=2,35 s (Dette er det tidsinterval, hvorefter vi ønsker at udregne hastigheden.)
ag=9,81ms2 (Dette er underforstået, da vandballonen er et frit faldende objekt)
Da bevægelsen i denne opgave er lodret, så vælger vi y som vores positionsvariabel i stedet for x. Det symbol, vi vælger, er ligegyldigt, så længe vi er konsekvente, men y bruges typisk til at angive lodret bevægelse.
Da vi ikke kender forskydningen Δy og vi ikke blev spurgt om forskydningen Δy, vælger vi at bruge den første ligning v=v0+at, som mangler Δy.
v=v0+at(Brug af den første ligning, da den mangler Δy.)
v=0 m/s+(9,81ms2)(2,35 s)(Indsætter kendte værdier.)
v=23,1 m/s(Færdig beregnet!)
Bemærk: Sluthastighed er negativ, da vandballonen er på vej nedad.

Eksempel 2: Anden bevægelsesligning, Δx=(v+v02)t

En leopard løber med hastigheden 6,20 m/s og sætter derefter hastigheden op til 23,1 m/s i et tidsinterval på 3,3 s.
Over hvor lang en strækning foregår accelerationen fra 6,20 m/s til 23,1 m/s?
Hvis det antages, at startretningen er den positive retning, er vores kendte variable
v0=6,20 m/s (Leopardens starthastighed)
v=23,1 m/s (Leopardens sluthastighed)
t=3,30 s (Den tid det tog leoparden at accelerere)
Da vi ikke kender accelerationen a og ikke bliver spurgt om acceleration, vælger vi at bruge den anden ligning i den vandrette retning Δx=(v+v02)t, som mangler a.
Δx=(v+v02)t(Brug af den anden ligning, da den mangler a.)
Δx=(23,1 m/s+6,20 m/s2)(3,30 s)(Indsætter kendte værdier.)
Δx=48,3 m(Færdig beregnet!)

Eksempel 3: Tredje bevægelsesligning, Δx=v0t+12at2

En elev er træt af sine lektier om bevægelsesligninger, så hun kaster sin blyant lige opad med 18,3 m/s.
Hvor lang tid tager det blyanten at nå et punkt 12,2 m højere end hvor den blev kastet fra?
Hvis det antages, at opad er den positive retning, er de kendte variable
v0=18,3 m/s (Starthastighed opad)
Δy=12,2 m (Ønsket højde vi ønsker at kende tiden for)
a=9,81 m s2 (Blyanten er et objekt i frit fald)
Da vi ikke kender sluthastigheden v og vi ikke bliver spurgt om sluthastigheden, vælger vi at bruge den tredje ligning i den lodrette retning Δy=v0yt+12ayt2, som mangler v.
Δy=v0yt+12ayt2(Start med den tredje ligning.)
Normalt ville vi nu isolere den ubekendte, men t kan ikke isoleres, med mindre et af leddene er nul. I denne opgave er ingen af leddene nul og t er den ukendte variabel. Når vi indsætter de kendte værdier, kan vi se, at ligningen bliver en andengradsligning.
12,2 m=(18,3 m/s)t+12(9,81 m s2)t2(Indsætter kendte værdier.)
Dernæst trækkes 12,2 m på begge sider, så ligningen bliver på standardform
0=12(9,81 m s2)t2+(18,3 m/s)t12,2 m(Standardform)
Nu kan vi isolere t. Løsningerne til en andengradsligning på formen at2+bt+c=0 findes ved at bruge løsningsformlen t=b±b24ac2a. I opgaven er a=12(9,81 m s2), b=18,3 m/s og c=12,2 m.
Når disse værdier indsættes får vi
t=18,3 m/s±(18,3 m/s)24[12(9,81 m s2)(12,2 m)]2[12(9,81 m s2)]
Da der er et plus eller minus fortegn i løsningsformlen, får vi to svar for tiden t: en når du bruger + og en når du bruger . Løsning af formlen ovenfor giver disse to tider:
t=0,869 s og t=2,86 s
Der er to positive løsninger, da der er to tider, hvor blyanten har højden 12,2 m. Den første tid refererer til det første tidspunkt den passerer højden, mens den er på vej opad. Den senere tid refererer til det tidspunkt, den passerer 12,2 m, når den er på vej nedad igen.
Så svaret på vores opgave, "Hvor lang tid tager det blyanten at nå et punkt 12,2 m højere end hvor den blev kastet fra?", er den første tid t=0,869 s.

Eksempel 4: Fjerde bevægelsesligning, v2=v02+2aΔx

En motorcyklist kører med en hastighed på 23,4 m/s, men ser kø længere fremme, og beslutter at sætte farten ned over en afstand på 50,2 m med en konstant acceleration på 3,20 m s2. Antag at motorcyklen bevæger sig fremad hele vejen.
Hvad er den nye hastighed for motorcyklisten, efter at have bremset ned over 50,2 m?
Hvis det antages, at startretningen er den positive retning, er vores kendte variable
v0=23,4 m/s (Motorcyklens starthastighed)
a=3,20 m s2 (Accelerationen er negativ, da motorcyklen bremser og fremad antages at være positiv)
Δx=50,2 m (Vi ønsker at kende hastigheden efter motorcyklen har bevæget sig denne strækning)
Da vi ikke kender tiden t og vi ikke bliver spurgt om tiden, bruger vi den fjerde ligning i vandret retning vx2=v0x2+2axΔx, som mangler t.
vx2=v0x2+2axΔx(Starter med den fjerde ligning.)
vx=±v0x2+2axΔx(Isolerer sluthastighed algebraisk.)
Bemærk, at når du tager en kvadratrod, får du to mulige svar: et positivt og et negativt. Da vores motorcyklist fortsætter i den samme retning, og vi antog, at denne retningen er positiv, vælger vi det positive svar vx=+v0x2+2axΔx.
Nu kan vi indsætte de kendte værdier for at få
vx=(23,4 m/s)2+2(3,20 m s2)(50,2 m)(Indsætter kendte værdier.)
vx=15,0 m/s(Færdig beregnet!)

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.