Hovedindhold

Fysik Bibliotek

Emne: (Fysik Bibliotek > Emne 1

Modul 3: Kinematiske formler og Projektilbevægelse

De kinematiske formler (Bevægelseslære)

Her er de vigtigste formler du får brug for i opgaver om konstant acceleration.

Hvad menes med kinematik-formler?

Kinematik-formlerne er et sæt formler, der sætter de fem kinematiske variabler vist nedenfor i sammenhæng.

delta, x, start text, F, o, r, s, k, y, d, n, i, n, g, space, left parenthesis, b, e, v, æ, g, e, t, space, s, t, r, æ, k, n, i, n, g, right parenthesis, end text
t, start text, T, i, d, s, i, n, t, e, r, v, a, l, end text, space
v, start subscript, 0, end subscript, space, space, start text, S, t, a, r, t, h, a, s, t, i, g, h, e, d, end text, space
v, space, space, space, start text, S, l, u, t, h, a, s, t, i, g, h, e, d, end text, space
a, space, space, start text, space, K, o, n, s, t, a, n, t, space, a, c, c, e, l, e, r, a, t, i, o, n, end text, space

[Hvorfor er tidsintervallet nu skrevet som t?]

Hvis vi kender tre af de fem kinematiske variable — delta, x, comma, t, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, v, comma, a — for et objekt under konstant acceleration, kan vi bruge en kinematisk formel til at bestemme en af de ukendte variable.

De kinematiske formler er ofte skrevet som følgende fire ligninger.

[Hvor kommer disse formler fra?]

1, point, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

2, point, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

3, point, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

4, point, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Da de kinematiske formler kun er nøjagtige, hvis accelerationen er konstant i det betragtede tidsinterval, skal vi passe på, at vi ikke bruger dem, når accelerationen ændrer sig. Ligeledes antages det i disse formler, at alle variable refererer til bevægelse i den samme retning: vandret x, lodret y, osv.

[Vent! Hvad?]

Hvad er et objekt i frit fald?

Det kan umiddelbart virke som om de kinematiske formler ikke er særlig nyttige, da de er begrænset til tidsintervaller med konstant acceleration. Men en af de mest almindelige former for bevægelse - frit fald, har faktisk konstant acceleration.

Alle objekter i frit fald – også kaldet projektiler – på Jorden, uanset deres masse, har en konstant nedadgående acceleration på grund af tyngdekraften på g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.

g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, start text, left parenthesis, S, t, ø, r, r, e, l, s, e, space, a, f, space, a, c, c, e, l, e, r, a, t, i, o, n, space, p, a, with, \r, on top, space, g, r, u, n, d, space, a, f, space, t, y, n, g, d, e, k, r, a, f, t, right parenthesis, end text

Et frit svævende objekt - er ethvert objekt, der accelererer udelukkende på grund af tyngdekraften. I denne situation antages det typisk at påvirkningen fra luftmodstand er så lille, at den kan ignoreres. Derfor vil ethvert objekt, der er sluppet, kastet eller på anden måde falder frit gennem luften, antages at være et frit faldende projektil med en konstant nedadgående acceleration på g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.

Det er både mærkværdigt og heldigt, når man tænker over det. Men det betyder, at en stor kampesten vil accelerere nedad med samme acceleration som en lille sten, og hvis de falder fra samme højde, vil de ramme jorden samtidig.

[Hvordan kan det være?]

Det betyder ligeledes, at vi ikke behøver at kende massen af projektilet for at bruge de kinematiske formler, da det frit faldende objekt vil have den samme acceleration, g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, uanset hvilken masse det har, så længe luftmodstand er ubetydelig.

Det er vigtigt at huske på, at g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction er accelerationen på grund af tyngdekraften. Hvis opad er valgt som positiv, så skal accelerationen på grund af tyngdekraften gøres negativ, a, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, når vi bruger de kinematiske formler.

Advarsel: At glemme det negative fortegn er en af de mest almindelige fejlkilder, når de kinematiske formler bruges.

Hvordan vælges og bruges en kinematisk formel?

Du kan bruge en kinematiske formel, hvis den kun indeholder én ukendt variabel, og du dermed kender de øvrige kinematiske variabler i den formel. Dermed kan du isolere den ukendte, indsætte de kendte variable og bestemme værdien af den ukendte variabel.

For eksempel, en bog, der lå på jorden, blev sparket fremad med en starthastighed på v, start subscript, 0, end subscript, equals, 5, start text, space, m, slash, s, end text, så den flyttede sig delta, x, equals, 8, start text, space, m, end text i tidsintervallet t, equals, 3, start text, space, s, end text. Vi kan bruge den kinematiske formel delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared til at udregne bogens ukendte acceleration a, forudsat at den er konstant — da vi kender alle andre variable i formlen — delta, x, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, t.

Hint: Hver kinematisk formel mangler en af de fire kinematiske variable — delta, x, comma, a, comma, v, comma, t.

1, point, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, start text, left parenthesis, D, e, n, n, e, space, f, o, r, m, e, l, space, m, a, n, g, l, e, r, space, delta, x, point, right parenthesis, end text

2, point, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, start text, left parenthesis, D, e, n, n, e, space, f, o, r, m, e, l, space, m, a, n, g, l, e, r, space, a, point, right parenthesis, end text

3, point, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, start text, left parenthesis, D, e, n, n, e, space, f, o, r, m, e, l, space, m, a, n, g, l, e, r, space, v, point, right parenthesis, end text

4, point, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x, start text, left parenthesis, D, e, n, n, e, space, f, o, r, m, e, l, space, m, a, n, g, l, e, r, space, t, point, right parenthesis, end text

For at vælge den kinematiske formel der passer til din opgave, skal du finde ud af hvilken variabel, du hverken har eller bliver bedt om at finde. I eksemplet ovenfor blev bogens endelige hastighed v hverken givet eller bedt om, så du bør vælge en formel, der ikke indeholder v. Den kinematiske formel delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared mangler v, så det er det rigtige valg i dette tilfælde, når den ukendte acceleration a skal udregnes.

[Hvorfor er der ikke en femte kinematisk formel, der mangler starthastigheden?]

Hvordan udledes den første kinematiske formel, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t ?

Denne kinematiske formel er nok den nemmeste at udlede, da den egentlig svarer til en omskrivning af definitionen for acceleration. Lad os derfor starte med definitionen for acceleration:

a, equals, start fraction, delta, v, divided by, delta, t, end fraction

\quad

[Er dette ikke den gennemsnitlige acceleration?]

Nu kan vi erstatte delta, v med definitionen af hastighedsændring v, minus, v, start subscript, 0, end subscript.

a, equals, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, delta, t, end fraction

Til sidst isoleres v:

v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, delta, t

Vi kan per konvention bruge t i stedet for delta, t, og vi har udledt den første kinematiske formel:

v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

Hvordan udledes den anden kinematiske formel, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t?

Denne kinematiske formel kan udledes på en smart visual måde, ved at bruge hastighedsgrafen for et objekt, der bevæger sig med konstant acceleration. Denne graf vil have en konstant hældning og begynde med den oprindelige hastighed v, start subscript, 0, end subscript, som vist i figuren nedenfor.

Arealet under enhver hastighedsgraf svarer til forskydningen delta, x. Arealet under denne hastighedsgraf svarer derfor til forskydningen delta, x af objektet.

delta, x, equals, start text, space, s, a, m, l, e, t, space, a, r, e, a, l, end text

Dernæst opdeles arealet i det blåt rektangel og den røde trekant, som vist i figuren ovenfor.

Da højden af det blå rektangel svarer til v, start subscript, 0, end subscript og bredden svarer til t, så kan arealet af det blå rektangel beregnes som v, start subscript, 0, end subscript, t.
Grundlinjen af den røde trekant svarer til t og højden svarer v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, så arealet af den røde trekant beregnes som start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, left parenthesis, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.

Det samlede areal er summen af arealet af det blå rektangel og den røde trekant.

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, left parenthesis, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis

Når vi ganger faktoren start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t ind i parentesen, får vi

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, t, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, start subscript, 0, end subscript, t

Dernæst samles de to led med v, start subscript, 0, end subscript

delta, x, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, start subscript, 0, end subscript, t

Til sidst omskrives den højre side til den anden kinematiske formel:

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Denne formel er interessant, for hvis du dividerer begge sider med t, får du start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis. Dette viser at den gennemsnitlige hastighed start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction er lig med gennemsnittet af slut- og starthastigheden start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction. Husk, dette er kun sandt, når accelerationen er konstant, da vi udledte denne formel fra en hastighedsgraf med konstant hældning og derfor konstant acceleration.

Hvordan udledes den tredje kinematiske formel, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared?

Ligningen delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared kan udledes på et par forskellige måder. Vi vil her lave en smart visuel geometrisk udledning og en mindre spændende 'rugbrødsmetode'. Lad os først lave den visuelle udledning.

Figuren nedenfor viser grafen for hastigheden af et objekt, der starter med hastigheden v, start subscript, 0, end subscript og som med konstant acceleration når en sluthastighed på v.

Da arealet under enhver hastighedsgraf svarer til forskydningen delta, x, repræsenterer hvert led i højre side af formlen delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared et særskilt område under grafen i figuren ovenfor.

Leddet v, start subscript, 0, end subscript, t repræsenterer arealet af det blå rektangel, da A, start subscript, r, e, k, t, a, n, g, e, l, end subscript, equals, h, \cdotp, b.

Leddet start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared repræsenterer arealet af den røde trekant, da A, start subscript, t, r, e, k, a, n, t, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, g, \cdotp, h.

[Vent, hvordan?]

Det var det. Formlen delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared vil være sand, da forskydningen svarer til det samlede areal under grafen. Vi antog, at hastighedsgrafen var en pæn skrå linje, så formlen for arealet af en trekant kunne bruges. Husk, denne kinematiske formel, ligesom alle de øvrige kinematiske formler, er kun sand, når accelerationen er konstant.

Formlen kan også udledes med den mere kedelige rugbrødsmetode. Den tredje kinematiske formel kan afledes ved at indsætte den første kinematiske formel, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, ind i den anden kinematiske formel, start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction.

Hvis vi starter med den anden (lidt omskrevne) kinematiske formel

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

og indsætter v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t i stedet for v, får vi

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, right parenthesis, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

Vi kan omskrive højre side og få

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, plus, start fraction, a, t, divided by, 2, end fraction, plus, start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

Dernæst samles de to led med start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, og vi får

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, start fraction, a, t, divided by, 2, end fraction

Til sidst ganges begge sider med tiden t og vi har den tredje kinematiske formel.

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

Vi brugte andre kinematiske formler, som har et krav om konstant acceleration, så denne tredje kinematiske formel er også kun sand, når accelerationen er konstant.

Hvordan udleder du den fjerde kinematiske formel, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x?

For at udlede den fjerde kinematiske formel, starter vi med den anden kinematiske formel:

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Vi skal fjerne tiden t fra denne formel. For at gøre dette omskriver vi den første kinematiske formel, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, så vi får t, equals, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, a, end fraction. Nu kan vi indsætte dette udtryk for t i den anden kinematiske formel:

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, a, end fraction, right parenthesis

Multiplikation af brøkerne giver

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, squared, minus, v, start subscript, 0, end subscript, squared, divided by, 2, a, end fraction, right parenthesis

Til sidst isolerer vi v, squared og får den fjerde kinematiske formel.

v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Hvorfor er de kinematiske formler forvirrende?

Folk glemmer ofte, at de kinematiske formler kun er sande, når accelerationen er konstant i løbet af det betragtede tidsinterval.

Nogle gange vil en kendt variabel ikke blive eksplicit givet i et problem, men snarere underforstået med kodeord. For eksempel, "starter fra hvile" betyder v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0, "sluppet" ofte v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0 og "stopper op" betyder v, equals, 0. Desuden antages accelerationen på grund af tyngdekraften på alle frit faldende projektiler at være g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction. Denne acceleration vil normalt ikke blive givet eksplicit i en opgave, men er underforstået for ethvert frit faldende objekt.

Folk glemmer, at alle kinematiske variabler – delta, x, comma, v, start subscript, o, end subscript, comma, v, comma, a – bortset fra t kan være negative. Et manglende negativt fortegn er en meget almindelig fejlkilde. Hvis opad antages at være positiv, skal accelerationen på grund af tyngdekraften for et frit faldende objekt være negativ: a, start subscript, g, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.

Den tredje kinematiske formel, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, kan kræve brug af løsningsformlen for en andengradsfunktion, se eksempel 3 nedenfor.

Folk glemmer, at selvom du kan vælge et tidsinterval med konstant acceleration, skal de kinematiske variabler du indsætter i en kinematisk formel svare til dette tidsinterval. Med andre ord, starthastigheden v, start subscript, 0, end subscript skal være objektets hastighed ved startpositionen og start af tidsintervallet t. Tilsvarende skal sluthastigheden v være hastigheden ved slutposition og slutningen af tidsintervallet t.

Hvordan ser eksempler, hvor de kinematiske formler bruges, ud?

Eksempel 1: Første kinematiske formel, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

En vandballon fyldt med saftevand slippes fra toppen af en meget høj bygning.

Hvad er hastigheden af vandballonen, når t, equals, 2, comma, 35, start text, space, s, end text?

Hvis det antages, at opad er den positive retning, er de kendte variable

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0 (Vandballonen blev sluppet, så den startede i hvile.)
t, equals, 2, comma, 35, start text, space, s, end text (Dette er det tidsinterval, hvorefter vi ønsker at udregne hastigheden.) a, start subscript, g, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction (Dette er underforstået, da vandballonen er et frit faldende objekt)

[Er ikke sluthastigheden nul, når den rammer jorden?]

Da bevægelsen i denne opgave er lodret, så vælger vi y som vores positionsvariabel i stedet for x. Det symbol, vi vælger, er ligegyldigt, så længe vi er konsekvente, men y bruges typisk til at angive lodret bevægelse.

Da vi ikke kender forskydningen delta, y og vi ikke blev spurgt om forskydningen delta, y, vælger vi at bruge den første kinematiske formel v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, som mangler delta, y.

v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, start text, left parenthesis, B, r, u, g, space, a, f, space, d, e, n, space, f, ø, r, s, t, e, space, k, i, n, e, m, a, t, i, s, k, e, space, f, o, r, m, e, l, comma, space, d, a, space, d, e, n, space, m, a, n, g, l, e, r, space, delta, y, point, right parenthesis, end text

v, equals, 0, start text, space, m, slash, s, end text, plus, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 2, comma, 35, start text, space, s, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, I, n, d, s, æ, t, t, e, r, space, k, e, n, d, t, e, space, v, æ, r, d, i, e, r, point, right parenthesis, end text

v, equals, minus, 23, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, F, æ, r, d, i, g, space, b, e, r, e, g, n, e, t, !, right parenthesis, end text

Bemærk: Sluthastighed er negativ, da vandballonen er på vej nedad.

[Kan vi ikke kalde nedad den positive retning?]

Eksempel 2: Anden kinematisk formel, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

En leopard løber med hastigheden 6,20 m/s og sætter derefter hastigheden op til 23,1 m/s i et tidsinterval på 3,3 s.

Over hvor lang en strækning foregår accelerationen fra 6,20 m/s til 23,1 m/s?

Hvis det antages, at startretningen er den positive retning, er vores kendte variable

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 6, comma, 20, start text, space, m, slash, s, end text (Leopardens starthastighed)
v, equals, 23, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text (Leopardens sluthastighed)
t, equals, 3, comma, 30, start text, space, s, end text (Den tid det tog leoparden at accelerere)

Da vi ikke kender accelerationen a og ikke bliver spurgt om acceleration, vælger vi at bruge den anden kinematiske formel i den vandrette retning delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, som mangler a.

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, start text, left parenthesis, B, r, u, g, space, a, f, space, d, e, n, space, a, n, d, e, n, space, k, i, n, e, m, a, t, i, s, k, e, space, f, o, r, m, e, l, comma, space, d, a, space, d, e, n, space, m, a, n, g, l, e, r, space, a, point, right parenthesis, end text

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, 23, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text, plus, 6, comma, 20, start text, space, m, slash, s, end text, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 3, comma, 30, start text, space, s, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, I, n, d, s, æ, t, t, e, r, space, k, e, n, d, t, e, space, v, æ, r, d, i, e, r, point, right parenthesis, end text

delta, x, equals, 48, comma, 3, start text, space, m, end text, start text, left parenthesis, F, æ, r, d, i, g, space, b, e, r, e, g, n, e, t, !, right parenthesis, end text

Eksempel 3: Tredje kinematisk formel, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

En elev er træt af sine lektier om kinematiske formler, så hun kaster sin blyant lige opad med 18,3 m/s.

Hvor lang tid tager det blyanten at nå et punkt 12,2 m højere end hvor den blev kastet fra?

Hvis det antages, at opad er den positive retning, er de kendte variable

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text (Starthastighed opad)
delta, y, equals, 12, comma, 2, start text, space, m, end text (Ønsket højde vi ønsker at kende tiden for.)
a, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction (Blyanten er et frit faldende legeme.)

Da vi ikke kender sluthastigheden v og vi ikke bliver spurgt om sluthastigheden, vælger vi at bruge den tredje kinematiske formel i den lodrette retning delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared, som mangler v.

delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared, start text, left parenthesis, S, t, a, r, t, space, m, e, d, space, d, e, n, space, t, r, e, d, j, e, space, k, i, n, e, m, a, t, i, k, negative, f, o, r, m, e, l, right parenthesis, end text

Normalt ville vi nu isolere den ubekendte, men t kan ikke isoleres, med mindre et af leddene er nul. I denne opgave er ingen af leddene nul og t er den ukendte variabel. Når vi indsætter de kendte værdier, kan vi se, at ligningen bliver en andengradsligning.

12, comma, 2, start text, space, m, end text, equals, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, t, squared, start text, left parenthesis, I, n, d, s, æ, t, t, e, r, space, k, e, n, d, t, e, space, v, æ, r, d, i, e, r, point, right parenthesis, end text

Dernæst trækkes 12,2 m på begge sider, så ligningen bliver på standardform

0, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, t, squared, plus, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, t, minus, 12, comma, 2, start text, space, m, end text, start text, left parenthesis, S, t, a, n, d, a, r, d, f, o, r, m, right parenthesis, end text

Nu kan vi isolere t. Løsningerne til en andengradsligning på formen a, t, squared, plus, b, t, plus, c, equals, 0 findes ved at bruge løsningsformlen t, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, b, squared, minus, 4, a, c, end square root, divided by, 2, a, end fraction. I opgaven er a, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, b, equals, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text og c, equals, minus, 12, comma, 2, start text, space, m, end text.

Når disse værdier indsættes får vi

t, equals, start fraction, minus, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, plus minus, square root of, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, minus, 4, open bracket, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, minus, 12, comma, 2, start text, space, m, end text, right parenthesis, close bracket, end square root, divided by, 2, open bracket, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, close bracket, end fraction

Da der er et plus eller minus fortegn i løsningsformlen, får vi to svar for tiden t: en når du bruger plus og en når du bruger minus. Løsning af formlen ovenfor giver disse to tider:

t, equals, 0, comma, 869, start text, space, s, end text og t, equals, 2, comma, 86, start text, space, s, end text

Der er to positive løsninger, da der er to tider, hvor blyanten har højden 12,2 m. Den første tid refererer til det første tidspunkt den passerer højden, mens den er på vej opad. Den senere tid refererer til det tidspunkt, den passerer 12,2 m, når den er på vej nedad igen.

Så svaret på vores opgave, "Hvor lang tid tager det blyanten at nå et punkt 12,2 m højere end hvor den blev kastet fra?", er den første tid t, equals, 0, comma, 869, start text, space, s, end text.

[Hvad hvis løsningsformlen gav et negativt svar?]

Eksempel 4: Fjerde kinematisk formel, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

En motorcyklist kører med en hastighed på 23,4 m/s, men ser kø længere fremme, og beslutter at sætte farten ned over en afstand på 50,2 m med en konstant acceleration på 3, comma, 20, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction. Antag at motorcyklen bevæger sig fremad hele vejen.

Hvad er den nye hastighed for motorcyklisten, efter at have bremset ned over 50,2 m?

Hvis det antages, at startretningen er den positive retning, er vores kendte variable

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 23, comma, 4, start text, space, m, slash, s, end text (Motorcyklens starthastighed)
a, equals, minus, 3, comma, 20, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction (Accelerationen er negativ, da motorcyklen bremser og fremad antages at være positiv.)
delta, x, equals, 50, comma, 2, start text, space, m, end text (Vi ønsker at kende hastigheden efter motorcyklen har bevæget sig denne strækning.)

Da vi ikke kender tiden t og vi ikke bliver spurgt om tiden, bruger vi den fjerde kinematiske formel i vandret retning v, start subscript, x, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, som mangler t.

v, start subscript, x, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, start text, left parenthesis, S, t, a, r, t, e, r, space, m, e, d, space, d, e, n, space, f, j, e, r, d, e, space, k, i, n, e, m, a, t, i, k, negative, f, o, r, m, e, l, right parenthesis, end text

v, start subscript, x, end subscript, equals, plus minus, square root of, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, end square root, start text, left parenthesis, I, s, o, l, e, r, e, r, space, s, l, u, t, h, a, s, t, i, g, h, e, d, space, a, l, g, e, b, r, a, i, s, k, point, right parenthesis, end text

Bemærk, at når du tager en kvadratrod, får du to mulige svar: et positivt og et negativt. Da vores motorcyklist fortsætter i den samme retning, og vi antog, at denne retningen er positiv, vælger vi det positive svar v, start subscript, x, end subscript, equals, plus, square root of, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, end square root.

Nu kan vi indsætte de kendte værdier for at få

v, start subscript, x, end subscript, equals, square root of, left parenthesis, 23, comma, 4, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, plus, 2, left parenthesis, minus, 3, comma, 20, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 50, comma, 2, start text, space, m, end text, right parenthesis, end square root, start text, left parenthesis, I, n, d, s, æ, t, t, e, r, space, k, e, n, d, t, e, space, v, æ, r, d, i, e, r, point, right parenthesis, end text

v, start subscript, x, end subscript, equals, 15, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, F, æ, r, d, i, g, space, b, e, r, e, g, n, e, t, !, right parenthesis, end text

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Fysik Bibliotek

Emne: (Fysik Bibliotek > Emne 1

Hvad menes med kinematik-formler?

Hvad er et objekt i frit fald?

Hvordan vælges og bruges en kinematisk formel?

Hvordan udledes den første kinematiske formel, v=v0+atv=v_0+atv=v0​+atv, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t ?

Hvordan udledes den anden kinematiske formel, Δx=(v+v02)t{\Delta x}=(\dfrac{v+v_0}{2})tΔx=(2v+v0​​)tdelta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t?

Hvordan udledes den tredje kinematiske formel, Δx=v0t+12at2\Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2Δx=v0​t+21​at2delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared?

Hvordan udleder du den fjerde kinematiske formel, v2=v02+2aΔxv^2=v_0^2+2a\Delta xv2=v02​+2aΔxv, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x?