𝑒 og sammensat rente

Lad os sige, at du er desperat og skal bruge 1 dollar. Så du kommer til mig, den lokale lånehaj, og siger du skal låne 1 dollar i 1 år. Jeg er i godt humør og siger at jeg vil låne dig 1 dollar i 1 år, for den lave rente af 100% per år. Hvor meget skal du så betale om 1 år? Du skal betale den oprindelige hovedstol, som du lånte plus 100% af den. Altså plus endnu 1 dollar. Så det bliver naturligvis 2 dollars. Du siger, det er sørme meget. Jeg skal betale det dobbelte tilbage. Det er muligt, at jeg kan betale pengene tilbage efter 6 måneder. Hvad kan du så tilbyde mig Hr lånehaj? Jeg siger, hvis du er villig til at betale tilbage efter 6 måneder, så vil jeg kun forlange den halve rente i den halve tid. Hvis du låner 1 dollar i 6 måneder, så skal du betale 50% i rente over 6 måneder. Det her var for 1 år. Hvor meget skal du nu betale? Du skal betale hovedstolen, som du lånte, 1 dollar plus 50% af 1 dollar. Så plus 0,5 og det er naturligvis 1,50. Du siger, fint det lyder bedre. Men hvad nu, hvis jeg ikke har pengene til den tid? Hvis jeg nu alligevel skal bruge 1 år? Jeg siger, det kan vi sagtens finde ud af. Hvis du ikke har pengene, så kan du blot låne pengene 6 måneder mere. Vi låner dem til dig for endnu 6 måneder med samme 50% rente i de 6 måneder. Så vil du skylde mig hovedstolen på 1,5 dollars plus 50% af denne hovedstol. plus 75 cents og det bliver 2,25. Du vil så skylde mig 2,25 dollars. Man kan også se på det således, vi går fra 1 dollar i den første termin, som du ganger med 1,5. Hvis noget vokser med 50%, så ganger vi med 1,5. Når det så vokser med endnu 50%, så ganger vi med 1,5 igen. Du kan se på de 50% i rente, som at gange med 1,5. Hvis du starter med 1 og ganger med 1,5 to gange, så får du det samme. 2,25 er 1 ganget med 1,5 to gange. Gange 1,5 to gange er det samme som 1,5 opløftet til 2. Du kan også se det herover. Dette er det samme. 100% svarer til at gange med 2. Vi gangede med 1 + 1, altså med 2. Du kan også skrive det som 1 gange 2 opløftet til 1, fordi løbetiden er 1 år. Hvor kommer 2-tallet fra? Hvad betyder 100%? Det betyder, at du betaler det dobbelte. Du skal betale lånet plus 100%. Du skal betale det dobbelte tilbage. Hvis nogen forlanger 50%, så skal du i hver termin betale det du låner, det er 1-tallet plus 50% af det. Det er til 1,5 gange det du lånte. Du ganger med 1,5 hver gang. Vi kan omskrive det, så renten indgår i udtrykket. Dette svarer til 1 gange, renten svarer til 1 + 100% divideret med 1 termin opløftet til 1. Jeg ved godt, det ser fjollet ud, når jeg skriver 1 plus 1 sådan. Men vi kan fortsætte på denne måde med flere terminer. Vi kan derfor omskrive denne her. Vi kan skrive 1∙ (1 + 100%) -- 100% er opdelt i 2 terminer, hver på 6 måneder, begge med 50% -- (1 + 100% /2) er det samme som 1,5. Det blev gjort i to terminer, altså opløftet til 2. -- lad mig vise terminerne i forskellig farver -- Du kan måske begynde at se et mønster. Du er ikke helt glad ved dette, da 2,25 dollars er mere end de 2 dollars. Hvad hvis vi gør det for 12 måneder? Så siger jeg ok, det kan vi sagtens. Efter hver måned så opkræver jeg 100% divideret med 12 i rente. Det svarer til 8 1/3%. Du skal betale lånet plus 8 1/3%, det svarer til at gange med 1,083. Efter 1 måned skal du gange med 1,083. Efter 2 måneder --det er ikke helt i korrekt størrelsesforhold -- Efter 2 måneder skal du igen gange med 1,083, som svarer til 1,083 opløftet til 2. Hvis du fortsætter til 12 måneder, altså 10 måneder mere. Hvad er den samlede beløb over 1 år, hvis du ikke kunne betale tilbage før, så du bliver ved at låne? Du skal betale 1,083 opløftet til -- 1,083 for den første måned er opløftet til 1 og dette er 2 måneder -- så du skal betale 1,083 opløftet til 12. Den sammensatte rente over 12 terminer. 8 1/3% over 12 terminer. Lad os skrive det på denne form. Det svarer til hovedstolen gange (1 + 100% / 12). Husk, vi har opdelt de 100% i 12 terminer, så renten pålægges 12 gange. Det skal derfor opløftes til 12. Hvad bliver det lig med? Vi må have fat i en lommeregner. Jeg henter min TI-85. Hvad bliver det lig med? Det kan udregnes på et par forskellige måder. 1,083 er et gentagende decimaltal. Vi kan gøre det på flere måder, der alle giver samme resultat. Forhåbentlig kan du se opbygningen af udtrykket. (1 + -- 100% er det samme som 1 -- så 1/12)¹², det er lig 2,613. Jeg afrunder til 2,613. Du syntes dette er så spændende, at du næsten glemmer du har penge problemer. Du er så fascineret af hvad der mon sker hvis vi fortsætter! Her har vi 100%. Her har vi 50% for hver 6 måneder. Her har vi 1/12 af 100%, 8 1/3% hver måned i 12 måneder og vi får dette tal. Hvad hvis vi gør det hver dag? Hvis du låner 1 dollar og du skal betale 1/365 af 100% hver dag? 100% divideret med 365. Det gør vi så 365 gange. Du er matematisk nysgerrig og siger derfor, hvad får vi så? Hvad bliver det efter 1 år? Du har hovedstolen -- jeg laver lige lidt mere plads -- 1(1 + 100% /365). Men vi skal finde den sammensatte rente. Vi ganger med (1 + 100% /365) for hver dag lånet ikke er tilbage betalt. Det skal derfor opløftes til 365. Du siger, at opløfte noget til 365, det bliver et kæmpe stort tal. Men måske er det ikke så slemt, da 100 divideret med 365 er et lille tal. Denne ting må blive tæt på 1. Når vi opløfter 1 til noget, så bliver det jo ikke kæmpe stort. Lad os se hvad det bliver. Dette er et samme som 1 plus 100% er det samme som 1 divideret med 365 opløftet til 365. Vi får 2,71456. En temmelig præcis afrunding er 2,7145675. Men tallet fortsætter altså. Det ser interessant ud. Det ser ud til at, når vi laver større og større tal her, så bliver det ikke et fuldstændig vanvittigt stort tal. Det ser ud som om det nærmer sig et magisk mystisk tal. Og det gør det. Hvis du dividerer 100% med større og større tal og du opløfter det til dette tal, så vil du nærme dig det måske mest magiske og mystiske tal af alle tal. Tallet e. Du kan se lige her på lommeregneren. Der står e opløftet til x. Jeg opløfter det til 1, så du kan se lommeregnerens værdi af det. Du har allerede set at (1 + 1/365) opløftet til 365 er ret tæt på værdien af e. Jeg opforderer dig til at prøve selv med større og større tal og se, at du kommer tættere og tættere på dette magiske mysterium. Det er lige før du ikke har noget imod at betale lånehajen e dollars, da det er sådan et smukt tal.